[论文解读] Complexes d'intersection des compactifications de Baily-Borel. Le cas des groupes unitaires sur Q

Sophie Morel|ArXiv.org|Jan 11, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文通过加权复形与平红定理，建立了一个关于有理数域上酉Hodge结构的Baily-Borel紧化空间的交叠上同调上弗罗贝尼乌斯的迹的公式。证明了交叠复形的L函数是自守L函数的乘积，通过在正特征情况下对迹公式方法进行新颖的推广，将秩一情形的结果扩展至任意秩的酉群。

ABSTRACT

In this work, we calculate the trace of a power of the Frobenius endomorphism on the fibers of the intersection complex of the Baily-Borel compactification of a Shimura variety associated to a unitary group over Q. Our main tool is Pink's theorem about the restriction to the strata of the Baily-Borel compactification of the direct image of a local system on the Shimura variety. To use this theorem, we give a new construction of the intermediate extension of a pure perverse sheaf as a weight truncated of the full direct image. More generally, we are able to define analogs in positive characteristic of the weighted cohomology complexes introduced by Goresky, Harder and MacPherson. ----- Dans ce travail, nous calculons la trace d'une puissance de l'endomorphisme de Frobenius sur les fibres du complexe d'intersection de la compactification de Baily-Borel d'une variete de Shimura associee a un groupe unitaire sur Q. Notre outil principal est le theoreme de Pink sur la restriction aux strates de la compactification de Baily-Borel de l'image directe d'un systeme de coefficients sur la variete de Shimura. Pour pouvoir utiliser ce theoreme, nous donnons une nouvelle construction du prolongement intermediaire d'un faisceau pervers pur comme un tronque par le poids de l'image directe ordinaire. Plus generalement, nous definissons des analogues en caracteristique strictement positive des complexes ponderes introduits par Goresky, Harder et MacPherson.

研究动机与目标

• 将计算交叠上同调L函数的迹公式方法从秩一情形推广至有理数域上任意秩的酉群。
• 通过在Baily-Borel紧化空间上工作并适应正特征情形的方法，克服积分模型缺乏托罗伊尔紧化的问题。
• 建立有理数域上酉群的交叠复形的L函数为自守L函数的乘积。
• 通过在边界单体上使用弗罗贝尼乌斯权，将加权复形与 perverse 截断框架推广至Baily-Borel紧化空间。
• 证明交叠复形是Borel-Serre到Baily-Borel的映射下加权复形的直接像的权截断。

提出的方法

• 通过边界单体上的弗罗贝尼乌斯权截断，将Goresky-Harder-MacPherson的加权复形方法推广至正特征情形。
• 利用平红定理，以抛物子群和双陪集的形式描述局部系统在边界单体上的限制。
• 应用公式 $j_{!*}K = w_{\leqslant a}Rj_*K$，将交叠复形识别为加权复形的直接像的权截断。
• 在Baily-Borel紧化空间上应用加权复形的迹公式，以弗罗贝尼乌斯权替代托罗伊尔权。
• 通过标准抛物子群 $S \subset \{1,\dots,q\}$ 的求和推导迹公式，其中各项涉及带有权条件的李代数上同调的迹。
• 使用恒等式 $\mathrm{Tr}(\gamma_0, R\Gamma(\mathfrak{Lie}(\mathbf{N}_S), V)_{\geqslant t_s, s\in S}) = \sum_{J\subset S} (-1)^{\mathrm{card}(J)} \mathrm{Tr}(\gamma_0, R\Gamma(\mathfrak{Lie}(\mathbf{N}_S), V)_{<t_j, j\in J})$ 计算单体上的迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏托罗伊尔紧化的情形下，如何计算有理数域上酉Hodge结构的Baily-Borel紧化空间的交叠上同调上的弗罗贝尼乌斯迹？
• RQ2 有理数域上酉Hodge结构的Baily-Borel紧化空间上的交叠复形具有何种结构？
• RQ3 能否将交叠复形的L函数表示为高秩酉群的自守L函数的乘积？
• RQ4 Borel-Serre紧化空间上的加权复形如何与Baily-Borel紧化空间的交叠上同调相关联？
• RQ5 在正特征情形下，弗罗贝尼乌斯权截断在何种意义上取代了抛物权截断的作用？

主要发现

• Baily-Borel紧化空间上的交叠复形同构于加权复形的直接像的权截断 $w_{\leqslant a}Rj_*K$。
• 弗罗贝尼乌斯迹通过标准抛物子群 $S \subset \{1,\dots,q\}$ 的求和计算，各项涉及带有权条件的李代数上同调的迹。
• 迹公式的表达涉及 $J \subset S$ 的求和，符号交替，反映了边界单体分层的组合结构。
• 证明了交叠复形的L函数为自守L函数的乘积，将秩一情形的结果推广至任意秩的酉群。
• 由于积分模型缺乏托罗伊尔紧化，该方法对所有但有限多个素数成立。
• 关键技术工具是将交叠复形识别为Borel-Serre到Baily-Borel的自然映射下，加权复形的权截断的像。