[论文解读] Complexity Analysis of Reversible Logic Synthesis

Anupam Chattopadhyay, Chander Chandak+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用 12

一句话总结

本文分析了可逆逻辑综合的计算复杂度，证明有界辅助位综合为 NP-难问题，且无辅助位综合与代价约束排序问题相关。提出了一种最短路径公式化方法和 (0-1) 整数线性规划 (ILP) 模型，表明最短路径方法可在数分钟内实现所有 3 变量函数的最优综合，而 ILP 因运行时间过长而无法扩展。

ABSTRACT

Reversible logic circuit is a necessary construction for achieving ultra low power dissipation as well as for prominent post-CMOS computing technologies such as Quantum computing. Consequently automatic synthesis of a Boolean function using elementary reversible logic gates has received significant research attention in recent times, creating the domain of reversible logic synthesis. In this paper, we study the complexity of reversible logic synthesis. The problem is separately studied for bounded-ancilla and ancilla-free optimal synthesis approaches. The computational complexity for both cases are linked to known/presumed hard problems. Finally, experiments are performed with a shortest-path based reversible logic synthesis approach and a (0-1) ILP-based formulation.

研究动机与目标

• 分析在有界辅助位和无辅助位约束下可逆逻辑综合的计算复杂度。
• 通过将其与已知或假设为难解的问题关联，研究最优可逆电路综合的理论难度。
• 评估并比较两种精确公式化方法：(0-1) 整数线性规划 (ILP) 与基于最短路径的综合方法。
• 使用最短路径方法生成 3 变量可逆布尔函数的全面最优结果。
• 识别大规模电路的可扩展性瓶颈及未来研究方向。

提出的方法

• 将可逆逻辑综合建模为状态空间中的最短路径问题，其中节点表示布尔函数状态，边表示可逆门操作。
• 使用状态空间图，其中每个节点对应布尔函数的真值表或 ANF 表示，边对应门操作（如 CNOT、Toffoli）。
• 应用动态规划与路径查找算法，从恒等函数到目标函数探索所有可能的门序列，以最小化量子代价。
• 将综合问题公式化为 (0-1) 整数线性规划 (ILP)，其中变量表示门的使用，约束条件确保功能正确性和门的顺序。
• 支持正向和反向控制线（表格中用 '+' 和 '-' 表示），实现灵活的门表示。
• 使用 CPLEX 并设置 IntSolLim=1 以限制求解时间，但导致较大最优性间隙，尤其在较大实例上。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界辅助位可逆逻辑综合问题是否计算上困难？若是，其属于哪一复杂度类？
• RQ2 无辅助位可逆逻辑综合的计算复杂度如何？其与已知组合问题有何关联？
• RQ3 最短路径公式化方法是否能在合理时间内实现小型可逆电路（如 3 变量函数）的最优结果？
• RQ4 尽管 ILP 方法为精确解法，为何其在小电路之外无法扩展？
• RQ5 在可逆逻辑综合中，内存密集型的穷举搜索与基于路径查找的方法之间存在何种权衡？

主要发现

• 有界辅助位可逆逻辑综合被证明为 NP-难问题，与组合优化中的已知难解问题相关联。
• 无辅助位可逆逻辑综合被证明等价于代价约束置换排序问题，其计算复杂度尚不明确。
• 最短路径公式化方法在不到一分钟内成功计算出所有 3 变量可逆函数的最优门数与量子代价。
• 对于 NCTF 门族，平均量子代价为 10.52，平均门数为 4.34，所有最优值均已实现。
• (0-1) ILP 公式化方法即使在 IntSolLim=1 条件下，也无法在可接受时间内获得最优解，原因在于运行时间过长且最优性间隙过大。
• 最短路径方法在 3 变量函数上可有效扩展，但因状态空间呈指数增长，对 4 变量及以上电路面临可扩展性瓶颈。