[论文解读] Complexity Framework For Forbidden Subgraphs I: The Framework

Matthew Johnson, Barnaby Martin+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了一套针对 H-子图自由图（即不包含有限集合 H 中任意图作为子图的图）的复杂性框架，基于三个条件：在有界树宽图上可有效求解、在子立方图上 NP-难，以及在边细分下困难性保持不变。关键结果是：当且仅当 H 包含路径与细分爪图的不相交并时，该问题在 H-子图自由图上可有效求解；否则为计算困难。该框架统一并扩展了先前针对极小图与拓扑极小图自由图的元分类结果。

ABSTRACT

For any particular class of graphs, algorithms for computational problems restricted to the class often rely on structural properties that depend on the specific problem at hand. This begs the question if a large set of such results can be explained by some common problem conditions. We propose such conditions for $HH$-subgraph-free graphs. For a set of graphs $HH$, a graph $G$ is $HH$-subgraph-free if $G$ does not contain any of graph from $H$ as a subgraph. Our conditions are easy to state. A graph problem must be efficiently solvable on graphs of bounded treewidth, computationally hard on subcubic graphs, and computational hardness must be preserved under edge subdivision of subcubic graphs. Our meta-classification says that if a graph problem satisfies all three conditions, then for every finite set $HH$, it is ``efficiently solvable'' on $HH$-subgraph-free graphs if $HH$ contains a disjoint union of one or more paths and subdivided claws, and is ``computationally hard'' otherwise. We illustrate the broad applicability of our meta-classification by obtaining a dichotomy between polynomial-time solvability and NP-completeness for many well-known partitioning, covering and packing problems, network design problems and width parameter problems. For other problems, we obtain a dichotomy between almost-linear-time solvability and having no subquadratic-time algorithm (conditioned on some hardness hypotheses). The proposed framework thus gives a simple pathway to determine the complexity of graph problems on $HH$-subgraph-free graphs. This is confirmed even more by the fact that along the way, we uncover and resolve several open questions from the literature.

研究动机与目标

• 建立一个针对 H-子图自由图上图问题计算复杂性的通用元分类框架。
• 识别出在 H-子图自由图上图问题复杂性可系统分类的最小、易于验证的条件。
• 将现有的针对极小图与拓扑极小图自由图的算法元分类统一并扩展为更广泛适用的禁止子图框架。
• 通过将该框架应用于已知图问题（如划分、覆盖、打包与宽度问题），解决文献中的开放问题。
• 通过研究一个或多个条件不成立的情形，探索该框架的边界，并将诱导子图关系作为未来方向。

提出的方法

• 将 H-子图自由图定义为不包含有限集合 H 中任意图作为子图的图。
• 提出三个核心条件：(C1) 在有界树宽图上多项式时间可解；(C2) 在子立方图上 NP-完全；(C3) 在子立方图的边细分下 NP-难性保持不变。
• 证明：若一个问题满足全部三个条件，则其在 H-子图自由图上可有效求解当且仅当 H 包含路径与细分爪图的不相交并。
• 将该框架应用于广泛的问题——包括划分、覆盖、打包、网络设计与宽度问题——得出多项式时间可解性与 NP-完全性之间的二分法。
• 通过依赖于困难性假设（如 3SUM 或强指数时间假设）将框架扩展至近乎线性时间复杂性。
• 利用结构图论与已知结果（如 Lozin 和 Razgon [73]）探索诱导子图关系，并在限制条件下提出首个针对 H-自由图的元分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于简单、可验证的条件，为 H-子图自由图开发一个通用的元分类？
• RQ2 图问题在 H-子图自由图上的可有效求解性与不可有效求解性的精确边界是什么？
• RQ3 C1（有界树宽）、C2（子立方图上的难解性）与 C3（边细分下难解性的保持性）三个条件如何相互作用以决定复杂性？
• RQ4 该框架能否解决文献中的开放问题，特别是针对 Subgraph Isomorphism 或 Edge Steiner Tree 等问题？
• RQ5 该框架对诱导子图关系有何影响？能否导致 H-自由图的元分类？

主要发现

• 满足 C1、C2 和 C3 的问题在 H-子图自由图上可有效求解当且仅当 H 包含路径与细分爪图的不相交并。
• 该框架为众多著名问题（如独立集、点覆盖以及各类宽度问题）提供了多项式时间可解性与 NP-完全性之间的二分法。
• 对于某些问题，该框架在假设 3SUM 或强指数时间假设等困难性假设下，提供了近乎线性时间可解性与不存在亚二次时间算法之间的二分法。
• 该框架解决了文献中的开放情况，例如当 H = P5 或 H = 2P5 时，Subgraph Isomorphism 在 H-子图自由图上的复杂性。
• 该框架可扩展至诱导子图关系，导出定理 20：当且仅当 H 包含一个完全图、一个完全二分图、一个来自集合 S 的图以及一个来自 T（S-图的线图）的图时，问题在 H-自由图上为多项式时间可解。
• 本文识别出 Weighted Edge Steiner Tree 是目前唯一已知满足定理 20 条件的问题，凸显了寻找更多此类问题的必要性（开放问题）。