[论文解读] Complexity growth rate, grand potential and partition function

Wei Sun, Xian-Hui Ge|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 68被引用 10

一句话总结

本文通过热力学关系，将量子复杂性与统计力学建立了新颖的联系，具体表现为将复杂性增长速率与配分函数关联起来，即 $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$，该关系源自CV 2.0猜想（$\dot{\mathcal{C}} \sim PV$）与广义势能 $\Omega = -PV$。该关系在SYK模型和AdS黑洞中得到验证，与Lloyd界一致，并提示复杂性可能作为相变的序参量。

ABSTRACT

We examine the complexity/volume conjecture and further investigate the possible connections between complexity and partition function. The complexity/volume 2.0 states that the complexity growth rate $\mathcal{\dot{C}}\sim PV$. In the standard statistics, there is a fundamental relation among $PV$, the grand potential $Ω$ and the partition function $\mathcal{Z}$. By using this relation, we are able to construct an ansatz between complexity and partition function. The complexity/partition function relation is then utilized to study the complexity of the thermofield double state of extended SYK models for various conditions. The relation between complexity growth rate and black hole phase transition is also discussed.

研究动机与目标

• 通过热力学恒等式建立量子复杂性与统计力学之间更深层次的联系。
• 检验复杂性增长速率 $\dot{\mathcal{C}}$ 是否可表示为 $T \ln \mathcal{Z}$，基于CV 2.0猜想与广义势能关系。
• 检验所提出的复杂性-配分函数关系在多种量子系统（包括形变的SYK模型和AdS黑洞）中的有效性。
• 探究量子复杂性是否可作为黑洞相变的序参量。
• 验证在所提关系下，Lloyd界对复杂性增长的限制是否不被违反。

提出的方法

• 从CV 2.0猜想 $\dot{\mathcal{C}} \sim PV$ 和热力学恒等式 $\Omega = -PV$ 推导出关系 $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$，其中 $\Omega$ 为广义势能。
• 应用关系 $\ln \mathcal{Z} = -\Omega / (kT)$，将复杂性与正则系综中的配分函数 $\mathcal{Z}$ 关联。
• 分析扩展SYK模型中热场双态（TFD）的复杂性，包括实费米子和复费米子版本，以及含 $f$-和 $c$-费米子的双带模型。
• 利用推导出的 $\dot{\mathcal{C}} \sim -F$ 关系，计算Schwarzschild-AdS和Reissner-Nordström-AdS黑洞的复杂性增长速率，其中 $F$ 为自由能。
• 将结果与Lloyd界 $\dot{\mathcal{C}} \leq 2M$ 进行比较，并评估各类情况下的饱和程度。
• 利用最大功原理，将 $\dot{\mathcal{C}} = 2P\Delta V$ 解释为类似于机械功 $\Delta W = P\Delta V$ 的热力学功，从而将复杂性与热力学功联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过热力学恒等式与CV 2.0猜想，将复杂性增长速率表示为 $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$？
• RQ2 所提出的复杂性-配分函数关系是否在SYK模型的不同相态（包括双带模型与复费米子变体）中成立？
• RQ3 在所提框架下，AdS黑洞的复杂性增长速率是否违反Lloyd界？
• RQ4 量子复杂性是否可作为黑洞相变的序参量？
• RQ5 在黑洞热力学背景下，关系 $\dot{\mathcal{C}} \sim -F$ 与标准关系 $\dot{\mathcal{C}} \sim TS$ 相比有何异同？

主要发现

• 在原始SYK模型及其复费米子扩展中，关系 $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$ 得到验证，此时 $\dot{\mathcal{C}} \sim TS$ 成立。
• 在双带SYK模型中，仅 $f$-费米子（具有SYK相互作用）满足 $\dot{\mathcal{C}} \sim TS$，表明复杂性增长与相互作用区域相关。
• 对于SYK '虫洞' 的热场双态，复杂性增长速率与先前研究的定性预期一致。
• 在Schwarzschild-AdS和Reissner-Nordström-AdS黑洞中，关系 $\dot{\mathcal{C}} \sim -F$ 成立，其中 $F$ 为自由能。
• 复杂性增长速率满足广义Lloyd界 $\dot{\mathcal{C}} \leq 2M$，但未达到饱和，Schwarzschild-AdS黑洞中 $\dot{\mathcal{C}} = M/2$。
• 最大功原理支持 $\dot{\mathcal{C}} = 2P\Delta V$，在CV 2.0下可简化为 $\dot{\mathcal{C}} \leq -\Delta F$，证实与热力学约束的一致性。