[论文解读] Complexity of Bondage and Reinforcement

Fu-Tao Hu, Jun‐Ming Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通过将3-可满足性问题归约到每个问题，建立了三个基本图控制问题——边束缚、总边束缚和强化——的NP-难性。证明了在一般图中，确定使控制数（边束缚）、总控制数（总边束缚）或添加边后使控制数减少（强化）的最小边数是计算上不可行的。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a graph. A subset $D\subseteq V$ is a dominating set if every vertex not in $D$ is adjacent to a vertex in $D$. A dominating set $D$ is called a total dominating set if every vertex in $D$ is adjacent to a vertex in $D$. The domination (resp. total domination) number of $G$ is the smallest cardinality of a dominating (resp. total dominating) set of $G$. The bondage (resp. total bondage) number of a nonempty graph $G$ is the smallest number of edges whose removal from $G$ results in a graph with larger domination (resp. total domination) number of $G$. The reinforcement number of $G$ is the smallest number of edges whose addition to $G$ results in a graph with smaller domination number. This paper shows that the decision problems for bondage, total bondage and reinforcement are all NP-hard.

研究动机与目标

• 确定一般图中边束缚数判定问题的计算复杂性。
• 研究总边束缚数判定问题的复杂性，将结果扩展至总控制。
• 分析强化数问题并确立其计算困难性。
• 通过统一的归约框架，统一分析三种关键控制相关图参数的复杂性。
• 证明所有三个问题均为NP-难，解决其算法可解性方面的开放问题。

提出的方法

• 通过多项式时间图构造，将NP-完全的3-可满足性问题归约到边束缚判定问题。
• 从3-SAT实例构造图$G$，包含变量、子句和辅助顶点，以编码逻辑约束。
• 利用闭邻域$N[s]$和控制集在图中建模变量和子句的满足性。
• 证明对于含$n$个变量的图，有$\gamma(G) = n+1$，确立基准控制数。
• 证明当且仅当3-SAT实例可满足时，存在某条边$e$使得$\gamma(G+e) = n$。
• 对总边束缚和强化问题应用类似的归约技术，证明逻辑可满足性与图参数变化之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般图中边束缚数判定问题是否为NP-难？
• RQ2 一般图中总边束缚数判定问题是否为NP-难？
• RQ3 一般图中强化数判定问题是否为NP-难？
• RQ4 3-可满足性问题能否多项式归约到边束缚、总边束缚和强化问题？
• RQ5 强化问题的解的存在性是否精确对应于原始3-SAT实例的可满足性？

主要发现

• 边束缚数判定问题为NP-难，通过从3-SAT的多项式归约得以证明。
• 总边束缚数判定问题也为NP-难，将结果扩展至总控制。
• 强化数判定问题为NP-难，确立了通过添加边减少控制数的计算困难性。
• 由3-SAT实例构造的图$G$满足$\gamma(G) = n+1$，其中$n$为变量数。
• 当且仅当3-SAT实例可满足时，强化数$r(G) = 1$，通过归约证明了该等价性。
• 所有三个问题——边束缚、总边束缚和强化——在一般图中均为计算上不可行（NP-难）。