[论文解读] Complexity of Bose-Hubbard Model : Quantum Phase Transition

Wung-Hong Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2021

Quantum Information and Cryptography被引用 7

一句话总结

该论文将基于算符的微扰方法应用于玻色- Hubbard 模型中的量子复杂度计算，表明当相互作用强度达到临界值 $ g_c = 1 $ 时，复杂度发散，标志着量子相变的发生。该方法推广了此前用于 $ \lambda\phi^4 $ 理论的方法，得到了在两站点、N 站点以及高维系统中基态和激发态的精确级数展开。

ABSTRACT

The operator approach is applied to investigate the complexity of Bose-Hubbard model. We present a systematic method to expand the quantum complexity in series of coupling constant. We first study 2-sites system. For the ground state we can find the exact value of complexity which is the summation of all order. The complexity is divergent at critical value of coupling constant that indicates the quantum phase transition at this point. We then generalize the method to the N-sites closed chain and any dimensional system. The found properties are similar to those in 2-sites system. We also study the excited state and present the general formulas of Bose-Hubbard model complexity, which shows a similar form as that in $λϕ^4$ theory studied in our previous paper.

研究动机与目标

• 将用于量子复杂度的算符方法扩展至玻色- Hubbard 模型，该模型是冷原子在光学晶格中行为的典型模型。
• 研究量子复杂度是否可作为强关联多体系统中量子相变的信号。
• 将 $ \lambda\phi^4 $ 理论中的微扰复杂度计算方法推广至玻色- Hubbard 模型，并获得精确级数解。
• 分析一维链和更高维晶格中基态与激发态的复杂度，识别临界行为。
• 探索临界点 $ g_c = 1 $ 在不同系统尺寸和维度下的普适性。

提出的方法

• 使用二次量子化形式将玻色- Hubbard 哈密顿量通过傅里叶变换表示为模式算符的形式。
• 在耦合常数 $ g $ 上进行微扰展开，利用有效频率 $ R^{(n)}_k $ 的递推关系，逐阶计算复杂度。
• 将复杂度定义为 Fubini-Study 度量中的测地线距离的平方，通过公式 $ D^{(n)2}_{\{N_k\}} = \sum_k (N_k + 1) \left( \ln \sqrt{R^{(n)}_k} \right)^2 $ 计算。
• 使用时间有序的指数演化来建模量子线路，通过最小化代价函数 $ D[U] = \int_0^1 ds \sum_I |Y^I(s)|^2 $ 实现。
• 通过将傅里叶变换推广至多动量模式，将方法推广至 N 站点闭合链和 N 维晶格。
• 通过 $ R^{(n\to\infty)}_k $ 的发散来识别临界点，特别是在 $ k=0 $ 处，当 $ R \to 0 $ 时标志相变发生。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过算符方法计算的量子复杂度能否检测玻色- Hubbard 模型中的量子相变？
• RQ2 该模型中相变的临界耦合常数 $ g_c $ 是否与系统尺寸无关？
• RQ3 在发散性和临界行为方面，激发态的复杂度与基态相比如何？
• RQ4 玻色- Hubbard 模型的复杂度公式在结构上是否与 $ \lambda\phi^4 $ 理论中的公式相似？
• RQ5 在 N 站系统中，$ g_k < 1 $ 处出现的非物理发散起什么作用？能否将其排除？

主要发现

• 两站点玻色- Hubbard 模型的复杂度在 $ g_c = 1 $ 处发散，表明发生量子相变，该结论通过级数的精确求和得到证实。
• 对于 N 站闭合链，复杂度同样在 $ g_c = 1 $ 处发散，且临界点与系统尺寸无关。
• 对 $ R^{(n)}_k $ 的递推关系可导出基态复杂度的精确表达式，实现无限阶收敛。
• 在高维系统中，复杂度公式推广为 $ \left(D^{(n)}_{\{N_i\}}\right)^2 = \sum_{\vec{k}} (N_{\vec{k}} + 1) \left( \ln \sqrt{R^{(n)}_{\vec{k}}} \right)^2 $，其结构与 $ \lambda\phi^4 $ 理论中保持一致。
• 对于 $ N > 2 $，在 $ g_k < 1 $ 处出现非物理发散，源于 $ R^{(n)}_k $ 分母中的零点，但这些发散并不对应实际相变。
• 该方法揭示了类似平均场的行为，因为 $ g_c = 1 $ 在所有系统尺寸下均保持普适，提示该相变可用简化的有效描述来刻画。