[论文解读] Complexity of comparing monomials and two improvements of the BM-algorithm

Samuel Lundqvist|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2008

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新的算法，用于合并词项指数向量的字典序排序列表，显著降低了BM算法中词项比较的时间复杂度。通过将该合并算法与投影技术结合，作者将词项操作的复杂度降低至 $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $，使算术运算成为新的瓶颈，并提供了适用于各种词项序的更紧致的复杂度界，涵盖BM算法与FGLM算法。

ABSTRACT

We give a new algorithm for merging sorted lists of monomials. Together with a projection technique we obtain a new complexity bound for the BM-algorithm.

研究动机与目标

• 通过整数向量的字典序比较，分析并改进在标准词项序（字典序、总度序、反总度序）下的词项比较复杂度。
• 开发一种更快的算法，用于合并表示词项的 $ n $-元组的字典序排序列表，以降低多项式算术中的比较开销。
• 通过投影技术，将BM算法中词项操作的时间复杂度从 $ O(n^2m^2) $ 降低至 $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $。
• 将改进的复杂度界推广至FGLM算法及其他基于泛函定义的算法，推广先前仅假设有限域的成果。
• 通过考虑整数算术的对数代价，建立更现实的复杂度模型，摆脱常数时间假设的限制。

提出的方法

• 提出一种用于字典序排序的 $ n $-元组列表的新合并算法，其在集合 $ \Sigma $ 中的比较次数最多为 $ \min(s,t) + n $，额外耗时 $ O(\max(s,t)\log n) $。
• 采用一种计算模型，其中整数加法与比较的代价为 $ O(\log(\max(a,b))) $，以反映真实算术代价。
• 基于引理3.4提出一种投影技术，通过将问题映射到低维空间，降低词项操作的复杂度。
• 将合并算法与投影技术应用于BM算法，证明词项比较复杂度现被限制在 $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $ 以内。
• 利用相同技术改进FGLM算法与基于泛函的理想计算的复杂度界，采用相同的复杂度模型。
• 利用词项比较在标准序下可归约为整数指数向量字典序比较的事实，使算法可高效处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当真实建模整数算术代价时，在标准词项序下比较词项的真实时间复杂度是什么？
• RQ2 能否通过一种更快的字典序排序指数向量列表的合并算法，降低BM算法的整体复杂度？
• RQ3 投影技术如何在不假设有限域的前提下，降低BM算法中词项操作的复杂度？
• RQ4 改进的复杂度界能否推广至FGLM算法及其他基于泛函的理想计算方法？
• RQ5 在优化词项比较后，BM算法中的新瓶颈是什么？与先前的复杂度模型相比有何不同？

主要发现

• 对于 $ n $ 个变量、总次数 $ \leq m $ 的词项，其词项比较复杂度被限制在 $ O(n \max(\log(m/n), 1)) $，优于标准假设的 $ O(n) $。
• 新合并算法处理 $ s $ 个和 $ t $ 个 $ n $-元组的排序列表时，最多使用 $ \min(s,t) + n $ 次 $ \Sigma $ 中的比较，额外耗时 $ O(\max(s,t)\log n) $，优于朴素方法的 $ O(\max(s,t)n) $。
• 在标准词项序下，BM算法中词项操作部分的复杂度被降低至 $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $。
• BM算法的算术复杂度被改进为 $ O(nm^2 + \text{min}(m,n)m^3) $，其中词项操作仅在 $ m \ll n $ 时成为主要开销。
• 改进的复杂度界可推广至FGLM算法与基于泛函的理想计算，得到 $ O(\min(m,n)m^3 + nm^2 + fnm + f\text{min}(m,n)m^2) $ 次算术运算，以及 $ O(\text{min}(m,n)m^2 \log m) $ 的词项操作时间。
• 投影技术使结果可推广至有限域之外，适用于 $ \mathbb{Q} $ 及其他域，而此前的工作仅假设 $ \mathbb{Z}_p $。