[论文解读] Complexity of comparison of influence of players in simple games

Haris Aziz|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Game Theory and Applications参考文献 23被引用 16

一句话总结

本文分析了在多种表示形式（胜者联盟、最小胜者联盟、加权投票博弈（WVG）、多重加权投票博弈（MWVG））下，比较简单博弈中玩家影响力的计算复杂度。研究结果表明，即使在最小胜者联盟表示下，计算Banzhaf指数和Shapley-Shubik指数仍是#P-完全的；对于MWVG，验证线性性是NP-难的，揭示了从紧凑博弈表示中高效提取权力度量的根本限制。

ABSTRACT

Coalitional voting games appear in different forms in multi-agent systems, social choice and threshold logic. In this paper, the complexity of comparison of influence between players in coalitional voting games is characterized. The possible representations of simple games considered are simple games represented by winning coalitions, minimal winning coalitions, weighted voting game or a multiple weighted voting game. The influence of players is gauged from the viewpoint of basic player types, desirability relations and classical power indices such as Shapley-Shubik index, Banzhaf index, Holler index, Deegan-Packel index and Chow parameters. Among other results, it is shown that for a simple game represented by minimal winning coalitions, although it is easy to verify whether a player has zero or one voting power, computing the Banzhaf value of the player is #P-complete. Moreover, it is proved that multiple weighted voting games are the only representations for which it is NP-hard to verify whether the game is linear or not. For a simple game with a set W^m of minimal winning coalitions and n players, a O(n.|W^m|+(n^2)log(n)) algorithm is presented which returns `no' if the game is non-linear and returns the strict desirability ordering otherwise. The complexity of transforming simple games into compact representations is also examined.

研究动机与目标

• 对不同表示形式下简单博弈中玩家影响力比较的计算复杂度进行表征。
• 研究在各种博弈表示下，计算关键权力指数（Banzhaf、Shapley-Shubik、Holler、Deegan-Packel及Chow参数）的可 tractability。
• 确定识别傀儡、独裁者或否决者等基本操作，以及验证博弈线性性或可欲序关系的复杂度。
• 考察将简单博弈转换为更紧凑表示形式（如WVG或MWVG）的计算成本，及其对权力指数计算的影响。

提出的方法

• 通过已知的#P-完全问题（如计数顶点覆盖、子集和问题）进行归约，以证明Banzhaf值计算的难解性。
• 设计多项式时间算法，用于在博弈为线性且以最小胜者联盟（Wm）表示时，识别傀儡、独裁者和否决者。
• 设计一个O(n.|Wm| + n²log(n))的算法，以判断由Wm表示的博弈是否为线性，若是，则返回严格可欲序关系。
• 利用对偶性和交换鲁棒性等性质，分析博弈的结构特征及其计算影响。
• 在不同表示形式之间转换博弈（如从Wm转换为W），以评估权力指数计算中的计算开销。
• 正式定义并分析可欲关系（≻D、∼D、不可比）及其计算复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当博弈以最小胜者联盟表示时，计算玩家的Banzhaf值是否为#P-完全？
• RQ2 验证多重加权投票博弈是否为线性博弈的复杂度是多少？
• RQ3 能否从最小胜者联盟表示中高效计算玩家的严格可欲序关系？
• RQ4 在不同博弈表示下，计算权力指数（如Shapley-Shubik、Banzhaf）的复杂度如何变化？
• RQ5 将简单博弈转换为紧凑表示形式（如WVG或MWVG）的计算成本是多少？

主要发现

• 以最小胜者联盟表示的简单博弈中，计算玩家的Banzhaf值是#P-完全的。
• 验证多重加权投票博弈是否为线性博弈是NP-难的，且这是唯一使该问题为NP-难的表示形式。
• 存在一个O(n.|Wm| + n²log(n))的算法，若博弈非线性则返回'no'，若为线性则计算出严格可欲序关系。
• 以最小胜者联盟表示的博弈中，计算Banzhaf指数的问题是NP-难的，且在相同表示下，Shapley-Shubik指数的计算也是NP-难的。
• 对于加权投票博弈，计算所有胜者联盟的总数以及Chow参数均为#P-完全的。
• 即使博弈为线性，当以最小胜者联盟表示时，计算Holler和Deegan-Packel指数的复杂度也是NP-难的。