[论文解读] Complexity of counting subgraphs: only the boundedness of the vertex-cover number counts

Radu Curticapean, Dániel Marx|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用 11

一句话总结

该论文证明，顶点覆盖数的有界性是决定子图计数可 tractability 的唯一结构性质：若图类 𝒮 的顶点覆盖数有界，则对任意 H ∈ 𝒮 的同构子图计数问题可在多项式时间内求解；否则，该问题为 #W[1]-难。该结果通过参数复杂性提供了紧致的复杂性刻画，并在指数时间假设（Exponential Time Hypothesis）下强化了二分图中计数 k-匹配问题的下界。

ABSTRACT

For a class $\mathcal{H}$ of graphs, #Sub$(\mathcal{H})$ is the counting problem that, given a graph $H\in \mathcal{H}$ and an arbitrary graph $G$, asks for the number of subgraphs of $G$ isomorphic to $H$. It is known that if $\mathcal{H}$ has bounded vertex-cover number (equivalently, the size of the maximum matching in $\mathcal{H}$ is bounded), then #Sub$(\mathcal{H})$ is polynomial-time solvable. We complement this result with a corresponding lower bound: if $\mathcal{H}$ is any recursively enumerable class of graphs with unbounded vertex-cover number, then #Sub$(\mathcal{H})$ is #W[1]-hard parameterized by the size of $H$ and hence not polynomial-time solvable and not even fixed-parameter tractable, unless FPT = #W[1]. As a first step of the proof, we show that counting $k$-matchings in bipartite graphs is #W[1]-hard. Recently, Curticapean [ICALP 2013] proved the #W[1]-hardness of counting $k$-matchings in general graphs; our result strengthens this statement to bipartite graphs with a considerably simpler proof and even shows that, assuming the Exponential Time Hypothesis (ETH), there is no $f(k)n^{o(k/\log k)}$ time algorithm for counting $k$-matchings in bipartite graphs for any computable function $f(k)$. As a consequence, we obtain an independent and somewhat simpler proof of the classical result of Flum and Grohe [SICOMP 2004] stating that counting paths of length $k$ is #W[1]-hard, as well as a similar almost-tight ETH-based lower bound on the exponent.

研究动机与目标

• 刻画哪些图类 𝒮 使得子图计数问题 #Sub(𝒮) 具有可 tractability。
• 确定有界顶点覆盖数是否是唯一能保证 #Sub(𝒮) 多项式时间可解的结构性质。
• 基于顶点覆盖数，建立 #Sub(𝒮) 的紧致复杂性二分。
• 强化二分图中计数 k-匹配问题的困难性，并推导基于 ETH 的下界。

提出的方法

• 从二分图中计数 k-匹配问题约化，以证明顶点覆盖数无界的图类的 #W[1]-难性。
• 使用细分星图和保持边界的同构映射，在子图中构造强集。
• 应用引理 8.6 和引理 8.3，证明在修改后的子图中存在 k-匹配构件。
• 从顶点集的多重集 Xₑ 构造匹配 M₁，以控制顶点覆盖并确保最小重叠。
• 利用指数时间假设（ETH）推导出二分图中计数 k-匹配问题的下界为 f(k)n^{o(k/log k)}。
• 通过反证法，结合细分星图和顶点覆盖，强制图 H 中满足结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界顶点覆盖数是否是唯一能保证 #Sub(𝒮) 多项式时间可解的图性质？
• RQ2 当 𝒮 的顶点覆盖数无界时，#Sub(𝒮) 是否仍为固定参数可 tractable？
• RQ3 二分图中计数 k-匹配问题的精确参数复杂性是什么？
• RQ4 指数时间假设是否意味着二分图中计数 k-匹配问题的运行时间存在非平凡下界？
• RQ5 能否通过从 k-匹配问题的简化约化，重新推导出计数长度为 k 的路径问题的困难性？

主要发现

• 当且仅当图类 𝒮 的顶点覆盖数有界时，问题 #Sub(𝒮) 才具有多项式时间可解性。
• 若 𝒮 的顶点覆盖数无界，则在参数 |V(H)| 下，#Sub(𝒮) 为 #W[1]-难，假设 FPT ≠ #W[1]。
• 二分图中计数 k-匹配问题是 #W[1]-难的，且在 ETH 下，对任意可计算函数 f(k)，不存在 f(k)n^{o(k/log k)} 时间的算法。
• 经典结果——计数长度为 k 的路径是 #W[1]-难的——通过从 k-匹配问题的简化约化得以重新证明。
• 二分图中计数 k-匹配问题的困难性，通过构件构造可推出更复杂子图计数问题的困难性。
• 在 H∖Q 中存在 k-匹配构件（其中 Q 为强集），通过结构不变性确认了原问题的困难性。