[论文解读] Complexity of Determining Nonemptiness of the Core

Vincent Conitzer, Tüomas Sandholm|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2003

Game Theory and Voting Systems被引用 23

一句话总结

本文证明了在合作博弈中，无论是否存在可转移效用，判断核心是否非空都是 NP-完全问题，主要原因在于计算大联盟可行结果的困难。作者提出一种超可加表示法，可实现高效的核成员资格检查，但即使在已知合作可能性的情况下，核心非空性依然难以处理，尤其在仅允许大联盟内部效用转移的混合模型中。

ABSTRACT

Coalition formation is a key problem in automated negotiation among self-interested agents, and other multiagent applications. A coalition of agents can sometimes accomplish things that the individual agents cannot, or can do things more efficiently. However, motivating the agents to abide to a solution requires careful analysis: only some of the solutions are stable in the sense that no group of agents is motivated to break off and form a new coalition. This constraint has been studied extensively in cooperative game theory. However, the computational questions around this constraint have received less attention. When it comes to coalition formation among software agents (that represent real-world parties), these questions become increasingly explicit. In this paper we define a concise general representation for games in characteristic form that relies on superadditivity, and show that it allows for efficient checking of whether a given outcome is in the core. We then show that determining whether the core is nonempty is $\mathcal{NP}$-complete both with and without transferable utility. We demonstrate that what makes the problem hard in both cases is determining the collaborative possibilities (the set of outcomes possible for the grand coalition), by showing that if these are given, the problem becomes tractable in both cases. However, we then demonstrate that for a hybrid version of the problem, where utility transfer is possible only within the grand coalition, the problem remains $\mathcal{NP}$-complete even when the collaborative possibilities are given.

研究动机与目标

• 分析确定合作博弈核心是否非空的计算复杂性，这是合作博弈论中关键的稳定性条件。
• 研究可转移效用的存在或缺失如何影响该复杂性。
• 确定核心非空性计算困难的根源，特别是识别大联盟可行结果的作用。
• 考察仅在大联盟内部允许效用转移的混合模型，并评估由此产生的复杂性。
• 为特征函数博弈提供一种简洁的、基于超可加性的表示法，以实现高效的核成员资格验证。

提出的方法

• 提出一种通用的、超可加的特征函数博弈表示法，紧凑地编码了联盟的效用可能性。
• 证明在该表示法下，可通过线性规划或约束满足技术高效验证核成员资格。
• 通过从 NP-完全的节点覆盖问题归约，证明在可转移效用与不可转移效用设置下，核心非空性均为 NP-完全。
• 表明当大联盟的可行结果集合预先给定时，该问题变得可解，说明核心非空性问题的困难性主要源于此步骤。
• 构建一种混合博弈模型，其中仅允许在大联盟内部进行效用转移，并证明即使已知合作可能性，核心非空性依然为 NP-完全。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在和不存在可转移效用的情况下，确定合作博弈核心是否非空的计算复杂性是什么？
• RQ2 核心非空性问题中导致计算困难的组成部分是什么？
• RQ3 通过预先指定大联盟的可行结果集合，能否使该问题变得可解？
• RQ4 在仅允许大联盟内部效用转移的混合模型中，复杂性如何变化？
• RQ5 能否设计一种高效表示法，使核心成员资格检查快速进行，同时保持博弈的战略结构？

主要发现

• 在可转移效用博弈中，即使已知大联盟的可行结果集合，判断核心是否非空仍为 NP-完全，表明该问题在该设定下难以处理。
• 在不可转移效用博弈中，同样存在 NP-完全性结果，表明核心非空性问题在两种设定下均难以处理。
• 计算困难的主要根源在于识别大联盟的可行结果集合；一旦这些结果被提供，问题即变得可解。
• 在仅允许大联盟内部效用转移的混合模型中，即使已知合作可能性，核心非空性问题仍为 NP-完全。
• 为特征函数博弈设计的超可加表示法，可实现高效验证某结果是否属于核心，为验证任务提供了实际的计算优势。
• 研究结果表明，多智能体系统中的战略稳定性分析可能在计算上极为昂贵，尤其当必须从零开始发现协同联盟结果时。