[论文解读] Complexity of full counting statistics of free quantum particles in entangled states.

Д. А. Иванов, Leonid Gurvits|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2019

Quantum Mechanics and Applications被引用 1

一句话总结

本文研究了在纠缠态下自由量子粒子的全计数统计的计算复杂度，重点关注多体乘积态中单体算符的期望值。研究发现，尽管某些期望值的计算复杂度与计算矩阵永久值相当（计算上困难），但当最终单体态的数量被限制为有限时，全计数统计生成函数变得可高效计算——该结论已对一般费米子乘积态和单玻色子态得到证明，对量子计算资源理论具有重要意义。

ABSTRACT

We study the computational complexity of quantum-mechanical expectation values of single-particle operators in bosonic and fermionic multi-particle product states. Such expectation values appear, in particular, in full-counting-statistics problems. Depending on the initial multi-particle product state, the expectation values may be either easy to compute (the required number of operations scales polynomially with the particle number) or hard to compute (at least as hard as a permanent of a matrix). However, if we only consider full counting statistics in a finite number of final single-particle states, then the full-counting-statistics generating function becomes easy to compute in all the analyzed cases. We prove the latter statement for the general case of the fermionic product state and for the single-boson product state (the same as used in the boson-sampling proposal). This result may be relevant for using multi-particle product states as a resource for quantum computing.

研究动机与目标

• 分析多体乘积态中单体算符的量子力学期望值的计算复杂度。
• 确定在自由费米子和自由玻色子系统中存在纠缠时，全计数统计问题是否仍保持可 tractable（可处理）性。
• 识别在何种条件下，尽管单个期望值具有固有复杂度，全计数统计生成函数仍可高效计算。
• 评估这些发现对将多体乘积态用作量子计算资源的影响。

提出的方法

• 通过二次量子化形式，分析玻色子和费米子多体乘积态中单体算符的期望值。
• 采用矩阵永久值作为复杂度基准，将期望值计算的难度与永久值计算进行比较。
• 针对全计数统计生成函数，将最终态空间限制为有限个单体态，以评估其可计算性。
• 本文证明，在此有限态限制下，生成函数对一般费米子乘积态和单玻色子乘积态均可高效计算。
• 证明技术依赖于组合恒等式，以及费米子的斯莱特行列式性质和玻色子在单玻色子情形下的永久值性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，尽管单个期望值计算困难，全计数统计生成函数仍可高效计算？
• RQ2 多体乘积态中期望值的计算复杂度在费米子与玻色子系统之间有何差异？
• RQ3 当最终单体态的数量被限制为有限时，全计数统计问题是否可被简化？
• RQ4 计算矩阵永久值的复杂度与自由费米子和自由玻色子系统中全计数统计的复杂度之间存在何种关系？

主要发现

• 多体乘积态中单体算符的期望值，其计算复杂度取决于初始态，可能为多项式时间可计算，或与计算矩阵永久值同等困难。
• 对于费米子乘积态，当最终态空间被限制为有限个单体态时，全计数统计生成函数可高效计算。
• 在单玻色子乘积态情形下，相同的有限态限制也导致生成函数可高效计算，与玻色子采样模型一致。
• 单个期望值的计算困难并不必然延伸至有限态约束下的全计数统计生成函数。
• 这些结果表明，即使单个矩阵元难以计算，多体乘积态仍可能作为量子计算的可行资源。