[论文解读] Complexity of Graph State Preparation

Mehdi Mhalla, Simon Perdrix|ArXiv.org|Dec 9, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文研究了在测量型量子计算中制备图态的复杂度，重点关注三个参数：辅助量子比特数量、基本算符大小和逻辑深度。本文提出了最小化辅助量子比特数量和算符大小的最优算法，证明了任何图态均可仅通过两比特测量和常数时间完成制备；同时在不使用辅助量子比特的情况下，建立了测量大小的下界为 δ_loc(G)+1。

ABSTRACT

The graph state formalism is a useful abstraction of entanglement. It is used in some multipartite purification schemes and it adequately represents universal resources for measurement-only quantum computation. We focus in this paper on the complexity of graph state preparation. We consider the number of ancillary qubits, the size of the primitive operators, and the duration of preparation. For each lexicographic order over these parameters we give upper and lower bounds for the complexity of graph state preparation. The first part motivates our work and introduces basic notions and notations for the study of graph states. Then we study some graph properties of graph states, characterizing their minimal degree by local unitary transformations, we propose an algorithm to reduce the degree of a graph state, and show the relationship with Sutner sigma-game. These properties are used in the last part, where algorithms and lower bounds for each lexicographic order over the considered parameters are presented.

研究动机与目标

• 表征仅使用测量的量子计算中图态制备的复杂度。
• 分析三个关键复杂度参数之间的权衡：辅助量子比特数量、基本算符大小和逻辑深度。
• 为这些参数的字典序排列建立紧致的上下界。
• 探讨局部补全操作以及局部补全下的最小度 δ_loc(G) 在优化制备协议中的作用。
• 提供图态制备的完整复杂度表征，包括对逻辑深度和测量大小的下界。

提出的方法

• 使用局部补全操作将图 G 转换为最小度 δ_loc(G) 的形式，从而实现优化的态制备。
• 应用 d-局部均匀可见集的概念以界定 δ_loc(G)，进而得到通过局部酉操作可实现的最小度的上界。
• 开发一种基于测量的逐边制备协议，利用辅助量子比特并行添加边，以减少逻辑深度。
• 提出一种两阶段制备算法：首先使用一组 k 个辅助量子比特添加非相邻边，然后通过逐顶点方法添加剩余顶点。
• 采用量子稳定子形式和泡利测量型态制备，不同测量结果稳定不同的正交子空间。
• 通过边着色和参数平衡（k）实现优化，以最小化逻辑深度，对具有 m 条边和 n 个顶点的图实现 O(m/√n) 的深度。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用投影测量制备任意图态时，所需的最少辅助量子比特数量是多少？
• RQ2 在不使用辅助量子比特的情况下，制备图态所需的最小基本算符大小（测量基）是多少？
• RQ3 图态制备的最优逻辑深度是多少？其随图参数如何变化？
• RQ4 局部补全下的最小度 δ_loc(G) 与图态制备复杂度之间有何关系？
• RQ5 能否从计算复杂度的角度表征在局部补全下最小化图参数（如度数或边数）的复杂度？

主要发现

• 任何图态均可仅通过两比特测量且不使用辅助量子比特实现，达到常数时间制备。
• 无辅助量子比特制备所需的最小测量大小恰好为 δ_loc(G) + 1，其中 δ_loc(G) 是通过局部补全可实现的最小度。
• 存在一种不使用辅助量子比特的制备协议，其逻辑深度上界为 O(m / √n)，其中 m 为边数，n 为顶点数。
• 由测量配置生成的相互正交的稳定子态数量为 2^{|D|}，证明了测量型变换在子空间上作用为恒等变换。
• d-局部均匀可见集的存在性意味着 δ_loc(G) ≤ d−1，为在局部酉操作下降低图的最小度提供了结构条件。
• 图态制备的逻辑深度下界仍为开放问题，尽管本文为辅助量子比特数量和测量大小建立了紧致的下界。