[论文解读] Complexity of Monadic inf-datalog. Application to temporal logic

Eugénie Foustoucos, Irène Guessarian|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2006

Formal Methods in Verification参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在有限模型上评估一元无穷Datalog程序的多项式时间算法，为分层程序建立了线性空间和线性时间复杂度。它提供了一个统一的证明，表明CTL和无交替$μ$-演算模型检查的线性数据复杂度和程序复杂度，以及$L\mu_k$（具有有界交替深度的模态$μ$-演算）的多项式时间数据复杂度和线性空间复杂度。

ABSTRACT

In [11] we defined Inf-Datalog and characterized the fragments of Monadic inf-Datalog that have the same expressive power as Modal Logic (resp. $CTL$, alternation-free Modal $μ$-calculus and Modal $μ$-calculus). We study here the time and space complexity of evaluation of Monadic inf-Datalog programs on finite models. We deduce a new unified proof that model checking has 1. linear data and program complexities (both in time and space) for $CTL$ and alternation-free Modal $μ$-calculus, and 2. linear-space (data and program) complexities, linear-time program complexity and polynomial-time data complexity for $Lμ\_k$ (Modal $μ$-calculus with fixed alternation-depth at most $k$).}

研究动机与目标

• 分析在有限模型上评估一元无穷Datalog程序的时间和空间复杂度。
• 为CTL和无交替$μ$-演算等时序逻辑的模型检查提供统一的复杂度证明。
• 将复杂度界限扩展至$L\mu_k$，即具有有界交替深度的模态$μ$-演算。
• 通过基于Datalog的转换，弥合数据库查询评估与时序逻辑模型检查之间的鸿沟。
• 强调空间复杂度，因其在模型检查中研究少于时间复杂度。

提出的方法

• 设计一种算法，使用分层评估顺序来评估一元无穷Datalog程序，按顺序处理最小和最大不动点。
• 应用迭代不动点计算，结合深度优先遍历策略，以处理标记（最大）和未标记（最小）IDB谓词之间的相互递归。
• 使用递归评估框架，按顺序处理每一层，将中间结果存储在以IDB符号为索引的数组中。
• 通过先前工作的已知转换，将时序逻辑公式（例如，CTL、$μ$-演算）转换为一元无穷Datalog程序。
• 通过限制每层的迭代次数来分析复杂度，表明时间复杂度为$O((n+1)^k \times I)$，其中$n$为数据大小，$k$为交替深度，$I$为IDB数量。
• 通过仅存储当前和前一个不动点近似值，建立空间复杂度为$O(n \times I)$，即线性于$n \times I$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限模型上评估一元无穷Datalog程序的时间和空间复杂度是什么？
• RQ2 是否可以设计一种单一算法，统一模型检查在CTL、无交替$μ$-演算和$L\mu_k$中的复杂度界限？
• RQ3 最小和最大不动点之间的交替如何影响复杂度？
• RQ4 Datalog程序的结构与时序逻辑模型检查的复杂度之间存在何种关系？
• RQ5 即使对于非分层或递归程序，是否也能将空间复杂度线性地限制在数据和程序大小范围内？

主要发现

• 分层一元无穷Datalog程序的评估时间复杂度为$O(n \times I)$，空间复杂度为$O(n \times I)$，其中$n$为数据库大小，$I$为IDB谓词数量。
• 对于$L\mu_k$，数据复杂度为多项式时间$O((n+1)^k \times I)$，空间复杂度为$O(n \times I)$，程序复杂度为线性时间。
• CTL和无交替$μ$-演算的模型检查在时间和空间上均具有线性数据复杂度和程序复杂度。
• 即使程序存在最小和最大不动点之间的相互递归，只要它们是分层的，该算法仍能实现线性空间复杂度。
• 该算法的空间复杂度保持线性，而先前工作的改进时间界限可能带来指数级空间开销，因此本方法在大规模模型中更具实用性。
• 结果为已知的时序逻辑模型检查复杂度界限提供了新的统一证明，特别强调了空间效率。