[论文解读] Complexity of multivariate Feynman-Kac path integration in randomized and quantum settings

Marek Kwas|ArXiv.org|Oct 18, 2004

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用 9

一句话总结

该论文证明，在经典最坏情况设置下受维度灾难困扰的多元费曼-卡茨路径积分问题，在随机化和量子设置下均可实现指数级加速。通过利用随机化和量子算法进行一致逼近，复杂度在ε⁻¹上呈多项式依赖，且与维度d无关，指数最高为2（随机化）和1（量子），从而彻底克服了维度灾难。

ABSTRACT

The Feynman-Kac path integration problem was studied in the worst case setting by Plaskota et al. (J. Comp. Phys. 164 (2000) 335) for the univariate case and by Kwas and Li (J. Comp. 19 (2003) 730) for the multivariate case with d space variables. In this paper we consider the multivariate Feynman-Kac path integration problem in the randomized and quantum settings. For smooth multivariate functions, it was proven in Kwas and Li (2003) that the classical worst case complexity suffers from the curse of dimensionality in d. We show that in both the randomized and quantum settings the curse of dimensionality is vanquished, i.e., the number of function evaluations and/or quantum queries required to compute an e-approximation has a bound independent of d and depending polynomially on 1/e. The exponents of these polynomials are at most 2 in the randomized setting and at most 1 in the quantum setting. Hence we have exponential speedup over the classical worst case setting and quadratic speedup of the quantum setting over the randomized setting. However, both the randomized and quantum algorithms presented here still require extensive precomputing, similar to the algorithms of Plaskota et al. (2000) and Kwas and Li(2003).

研究动机与目标

• 解决多元费曼-卡茨路径积分中的维度灾难问题，该问题在空间变量数量d增加时会困扰经典最坏情况复杂度。
• 分析多元费曼-卡茨路径积分问题在随机化和量子设置下的计算复杂度。
• 基于一致逼近开发高效算法，与经典最坏情况设置相比实现更优的复杂度界。
• 证明随机化和量子算法均可打破维度灾难，且量子设置相比随机化设置实现二次加速。

提出的方法

• 本研究以一致逼近为核心计算构建模块，用于求解多元费曼-卡茨路径积分问题。
• 通过使用具有方差减少技术的蒙特卡罗型采样，构建随机化算法以提高收敛速度。
• 通过使用幅值放大和量子查询模型，设计量子算法，使其收敛速度优于经典随机化方法。
• 通过将路径积分问题与已知在随机化和量子设置下具有紧致复杂度界的多元加权积分相关联，推导出复杂度界。
• 对于类F中r阶连续可微函数，证明了一致逼近复杂度为ε⁻¹，其指数依赖于d和r。
• 理论分析确认，随机化算法的成本量级为O(ε⁻²/(1+2r/d))，量子算法的成本量级为O(ε⁻¹/(1+r/d))，两者在渐近阶上均与d无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机化和量子设置下，多元费曼-卡茨路径积分中的维度灾难是否可以被克服？
• RQ2 在随机化和量子设置下，计算多元费曼-卡茨路径积分的ε-逼近的精确复杂度是多少？
• RQ3 在查询复杂度和相对于经典最坏情况设置的加速方面，随机化和量子算法如何比较？
• RQ4 所提出的随机化和量子算法对于多元费曼-卡茨路径积分问题是否最优？
• RQ5 输入函数的光滑性（以r衡量）在随机化和量子设置下的复杂度确定中起什么作用？

主要发现

• 经典最坏情况复杂度下，多元费曼-卡茨路径积分受维度灾难影响，复杂度随ε⁻¹的指数依赖于d和r。
• 在随机化设置下，复杂度界为O(ε⁻²/(1+2r/d))，在渐近阶上与d无关，且在ε⁻¹上呈多项式依赖，指数最多为2。
• 在量子设置下，复杂度界为O(ε⁻¹/(1+r/d))，指数最多为1，对大d实现了相对于随机化设置的二次加速。
• 对于r阶连续可微函数类，随机化复杂度为O(ε⁻²/(1+2r/d))，量子复杂度为O(ε⁻¹/(1+r/d))，两者在主导阶上均与d无关。
• 所提出的随机化和量子算法大致最优，因其复杂度与多元积分问题的已知下界一致。
• 对于光滑度为r的周期函数，相同的复杂度界成立，且由于积分复杂度的匹配下界，算法为最优。