[论文解读] Complexity of Propositional Abduction for Restricted Sets of Boolean Functions

Nadia Creignou, Johannes Schmidt+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 28被引用 12

一句话总结

本文利用波斯特格拉德（Post's lattice）对所有布尔函数集合的命题归因问题进行了完整的复杂度分类，识别出可 tractable（P、NP、⊕L）与不可 tractable（Σ₂^p-complete、#·coNP-complete、#P-complete）的情形。研究发现，复杂度取决于集合 B 中布尔函数的表达能力，关键阈值与函数 x∨(y∧¬z) 及线性可表示性相关。

ABSTRACT

Abduction is a fundamental and important form of non-monotonic reasoning. Given a knowledge base explaining how the world behaves it aims at finding an explanation for some observed manifestation. In this paper we focus on propositional abduction, where the knowledge base and the manifestation are represented by propositional formulae. The problem of deciding whether there exists an explanation has been shown to be SigmaP2-complete in general. We consider variants obtained by restricting the allowed connectives in the formulae to certain sets of Boolean functions. We give a complete classification of the complexity for all considerable sets of Boolean functions. In this way, we identify easier cases, namely NP-complete and polynomial cases; and we highlight sources of intractability. Further, we address the problem of counting the explanations and draw a complete picture for the counting complexity.

研究动机与目标

• 对知识库与表现形式均限制为由固定布尔函数集合 B 构造的公式时，命题归因问题的计算复杂度进行分类。
• 确定归因问题变为可 tractable（P、NP 或 ⊕L）或不可 tractable（Σ₂^p-complete）的精确条件。
• 将分析扩展至归因问题的计数变体，对计数完整解释、正解释及最小子集解释的复杂度进行分类。
• 通过分析 B 的闭包性质（特别是单调性、线性性及关键函数的表达能力）来识别不可 tractability 的根源。

提出的方法

• 利用波斯特格拉德（Post's lattice）基于其闭包性质（如单调性、线性性、自对偶性）对所有可能的布尔函数集合 B 进行分类。
• 应用结构化约化以证明困难性结果，包括用于计数复杂度的保数约化，以及用于 #P-完全性的图灵约化。
• 对线性类（L）使用高斯消元技术，证明决策与计数问题在多项式时间内可解。
• 通过逻辑变换将已知困难问题（如 #Positive-2-SAT、coNP-完全问题）转化为特定 B 上等价的归因实例。
• 分析在不同表示形式（文字、子句、项、B-公式）下，知识库（Γ）、表现形式（A）与候选解释（E）之间的相互作用。
• 建立计数复杂度的三叉分类：根据生成的类 [B]，其复杂度为 FP、#·coNP-complete 或 #P-complete。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些布尔函数集合 B，命题归因问题可在多项式时间内判定，或为 NP-完全，或为 Σ₂^p-完全？
• RQ2 B 的哪些结构性质（如单调性、线性性、特定函数的表达能力）决定了归因问题的复杂度？
• RQ3 不同布尔函数类中，计数完整解释的复杂度如何变化？
• RQ4 将表现形式限制为文字、子句、项或 B-公式，对整体复杂度有何影响？
• RQ5 能否根据类 [B] 将归因问题的计数复杂度完全分类为 FP、#·coNP-complete 或 #P-complete？

主要发现

• 若集合 B 可表达 x∨(y∧¬z)、x∧(y∨¬z) 或 (x∧y)∨(x∧¬z)∨(y∧¬z)，则归因问题为 Σ₂^p-complete，表明由于非单调推理导致高度不可 tractable。
• 当 B 中所有函数均为单调且可表达 x∨(y∧z)、x∧(y∨z) 或 (x∧y)∨(x∧z)∨(y∧z) 时，问题变为 NP-完全。
• 若 B-公式为线性（即在 GF(2) 上可表示为线性方程）且依赖于多个变量，则问题属于 ⊕L 且为 ⊕L-难。
• 在所有其余情形（如 B 生成类 L 或 N），问题可在 LOGSPACE 内判定。
• 对于计数完整解释，复杂度为 FP（对于类 E、N、L）、#·coNP-complete（对于包含 V₂ 的类），或 #P-complete（对于单调类 M）。
• 计数复杂度表现出三叉分类：根据 [B]，其复杂度为 FP、#·coNP-complete 或 #P-complete，其中后两者即使对正解释与最小子集解释也具有困难性。