[论文解读] Complexity of Robust Orbit Problems for Torus Actions and the abc-Conjecture

Peter Bürgisser, Mahmut Levent Doğan+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Geometric and Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文研究了复数域 C^n 中环面作用下鲁棒轨道问题的计算复杂性，提出了一种用于测量轨道距离的近似框架，近似因子为 γ ≥ 1。研究证明当 γ = n^{Ω(1/log log n)} 时该问题为 NP-难，并为 γ = exp(poly(n)) 构建了多项式时间算法，揭示了一个令人惊讶的等价关系：这些算法在多项式时间内运行当且仅当一个版本的 abc-猜想成立，从而将计算复杂性与深层数论联系起来。

ABSTRACT

When a group acts on a set, it naturally partitions it into orbits, giving rise to orbit problems. These are natural algorithmic problems, as symmetries are central in numerous questions and structures in physics, mathematics, computer science, optimization, and more. Accordingly, it is of high interest to understand their computational complexity. Recently, Bürgisser et al. gave the first polynomial-time algorithms for orbit problems of torus actions, that is, actions of commutative continuous groups on Euclidean space. In this work, motivated by theoretical and practical applications, we study the computational complexity of robust generalizations of these orbit problems, which amount to approximating the distance of orbits in $\mathbb{C}^n$ up to a factor $γ>1$. In particular, this allows deciding whether two inputs are approximately in the same orbit or far from being so. On the one hand, we prove the NP-hardness of this problem for $γ= n^{Ω(1/\log\log n)}$ by reducing the closest vector problem for lattices to it. On the other hand, we describe algorithms for solving this problem for an approximation factor $γ= \exp(\mathrm{poly}(n))$. Our algorithms combine tools from invariant theory and algorithmic lattice theory, and they also provide group elements witnessing the proximity of the given orbits (in contrast to the algebraic algorithms of prior work). We prove that they run in polynomial time if and only if a version of the famous number-theoretic $abc$-conjecture holds -- establishing a new and surprising connection between computational complexity and number theory.

研究动机与目标

• 定义并研究环面作用下轨道问题的鲁棒推广，允许近似判断两个向量是否属于同一轨道或相距甚远。
• 分析在 C^n 中近似轨道间距离的计算复杂性，近似因子为 γ ≥ 1。
• 通过证明鲁棒轨道问题的多项式时间可解性与一个版本的 abc-猜想等价，建立计算复杂性与数论之间全新的联系。

提出的方法

• 将格上的最接近向量问题（CVP）归约至鲁棒轨道问题，以证明当 γ = n^{Ω(1/log log n)} 时问题为 NP-难。
• 结合不变量理论与算法格理论的工具，设计出可实现近似因子 γ = exp(poly(n)) 的算法。
• 利用 Kempf-Ness 定理，将轨道距离计算归约为在环面的李代数上最小化一个凸函数（即 Kempf-Ness 函数）。
• 采用见证查找机制，返回群元素 t ∈ T，使得 t·v 与 w 的距离不超过真实轨道距离的 γ 倍。
• 依赖于猜想 7.3（关于 Kempf-Ness 函数极小化器的近似）与分离假设 1.7（关于对数轨道距离的下界），以确保正确性与效率。
• 证明算法在多项式时间内运行当且仅当一个版本的 abc-猜想成立，利用指数丢番图逼近的界来实现此结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于较小的近似因子，鲁棒轨道问题——即以因子 γ ≥ 1 近似轨道间距离——是否在计算上是困难的？
• RQ2 能否为鲁棒轨道问题设计出具有大近似因子的多项式时间算法？其效率的必要与充分条件是什么？
• RQ3 轨道问题的计算复杂性与数论中的深刻猜想（如 abc-猜想）之间存在何种精确关系？
• RQ4 鲁棒轨道问题的算法能否返回显式的群元素（见证），以证明轨道之间的接近性，而不仅限于判断距离？
• RQ5 该鲁棒轨道问题存在多项式时间算法是否意味着或依赖于某个数论猜想的真值？

主要发现

• 当近似因子为 γ = n^{Ω(1/log log n)} 时，鲁棒轨道问题为 NP-难，该结论通过从格上最接近向量问题的归约得到证明。
• 对于近似因子 γ = exp(poly(n))，本文提出了多项式时间算法，且可同时返回显式群元素 t ∈ T，使得 ‖t·v − w‖ ≤ γ · dist(O_v, O_w)。
• 算法在多项式时间内运行当且仅当一个版本的 abc-猜想成立，从而建立了计算复杂性与数论猜想之间的紧密等价关系。
• 在猜想 7.3 与分离假设 1.7 成立的假设下，本文证明了 Kempf-Ness 轨道间对数距离 δ_log(C_v*, C_w*) 可以足够精确地近似，从而在多项式时间内判断轨道相等性。
• 即使轨道互不相同，轨道间的距离仍可能以输入位长度的双指数形式缩小，凸显了高精度近似的必要性。
• 本文证明当有理不变量不同时，δ_log(C_v*, C_w*) ≥ log 2 / (2N)，提供了支持分离假设的下界。