[论文解读] Complexity of Searching Maximum of a Function on Quantum Computer

Maciej Goćwin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 1

一句话总结

该论文通过利用量子查询复杂度和离散最大值查找技术，建立了在 Hölder 类函数中寻找最大值的量子计算机的匹配上下界，展示了相对于经典确定性和随机化算法的二次加速。

ABSTRACT

In this paper we deal with a problem of finding maximum of a function from the Holder class on quantum computer. We present matching lower and upper bounds on the complexity of this problem in the quantum query model. We prove upper bounds by constructing an algorithm that uses the algorithm for finding maximum of discrete sequence. To prove lower bounds we use result for finding logical OR of sequence of bits. We show that quantum computer yields a quadratic speed-up over deterministic and randomized algorithms.

研究动机与目标

• 确定在 Hölder 类函数中寻找最大值的量子查询复杂度。
• 建立所需量子查询数量的紧致上下界。
• 将量子复杂度与经典确定性和随机化算法进行比较。
• 证明量子计算在此优化问题中实现了二次加速。

提出的方法

• 构建一个将连续最大值查找问题转化为有限序列上离散最大值查找问题的量子算法。
• 将已知的用于查找离散序列最大值的量子算法作为子程序使用。
• 基于计算位串逻辑或的量子查询复杂度，应用一种下界技术。
• 利用 Hölder 类的光滑性特性来限制函数变化，并实现离散化。
• 在量子查询模型中建立匹配的上下界，以证明最优性。
• 利用 Hölder 类的结构，确保离散化误差有界且可控。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Hölder 类函数中寻找最大值的量子查询复杂度是多少？
• RQ2 量子算法能否在此问题上相对于经典确定性和随机化算法实现可证明的加速？
• RQ3 所需量子查询数量的紧致上下界是什么？
• RQ4 Hölder 类函数的光滑性如何影响量子最大值查找算法的设计与复杂度？

主要发现

• 在 Hölder 类函数中寻找最大值的量子查询复杂度被紧密界定，从而证明了最优性。
• 构建了一个量子算法，通过将离散最大值查找作为子程序，实现了上界。
• 下界来源于计算位串逻辑或的量子查询复杂度。
• 与经典确定性和随机化算法相比，量子方法提供了二次加速。
• 结果在量子查询模型中成立，证实了量子计算在此类连续优化问题中具有显著优势。