[论文解读] Complexity of strong approximation on the sphere

Naser T. Sardari|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用 8

一句话总结

该论文在多项式时间整数分解和二次型强逼近猜想（Conjecture 1.1）的假设下，提出了一种用于在LPS Ramanujan图中导航的确定性多项式时间算法。通过将路径查找问题转化为在受限同余条件下将整数表示为四个平方和的问题，该算法计算了对角顶点之间的最短路径，其路径长度边界与猜想的渐近直径 $ (4/3)/\log_p|X^{p,q}| + O(1) $ 一致，并在100位素数 $ q $ 上进行了数值验证。

ABSTRACT

By assuming some widely-believed arithmetic conjectures, we show that the task of accepting a number that is representable as a sum of $d\geq2$ squares subjected to given congruence conditions is NP-complete. On the other hand, we develop and implement a deterministic polynomial-time algorithm that represents a number as a sum of 4 squares with some restricted congruence conditions, by assuming a polynomial-time algorithm for factoring integers and Conjecture~ ef{cc}. As an application, we develop and implement a deterministic polynomial-time algorithm for navigating LPS Ramanujan graphs, under the same assumptions.

研究动机与目标

• 在理论计算机科学和量子电路设计中具有关键作用的LPS Ramanujan图中，开发一种确定性多项式时间导航算法。
• 在算术猜想下证明此类图上的路径查找问题是NP完全的，从而确立一般实例的计算困难性。
• 提出并证明关于二次型整数解密度的猜想1.1，以确保算法的终止性和效率。
• 建立LPS Ramanujan图直径的定量界，表明大多数对角顶点对之间的路径长度为 $ \log_p|X^{p,q}| + O(\log\log|X^{p,q}|) $。
• 提供显式数值示例，包括针对100位素数 $ q $ 的432步路径，验证算法输出距离理论下界仅差两步。

提出的方法

• 将LPS Ramanujan图中的导航问题归约为在特定同余条件下将给定整数表示为四个平方和的问题。
• 利用 $ X^{p,q} $ 中对角顶点与 $ \mathbb{Z}^2 $ 的指数 $ q $ 子格之间的新颖对应关系，实现路径查找问题的几何解释。
• 在假设存在多项式时间整数分解算法的前提下，应用一种用于受限同余条件下四平方和表示的确定性算法。
• 利用猜想1.1，该猜想断言：若二次型 $ Q(t_0,t_1) $ 在半径为 $ r $ 的球体内具有足够多的整数点，则其在该区域内表示一个两平方和。
• 通过将四元数 $ x + iy + jz + kw $ 分解为 $ V $-门（$ V $-gates），构造图中的路径，其中 $ V $-gates 对应该图的LPS生成元。
• 对100位素数 $ q $ 实现该算法的数值计算，验证所计算路径长度距离理论下界 $ 3\log_5(q) \approx 428.5 $ 仅差两步。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准算术猜想下，给定同余条件时，将一个数表示为 $ d \geq 2 $ 个平方和的问题是否为NP完全？
• RQ2 能否通过将问题归约为受限同余条件下的四平方和表示，实现对LPS Ramanujan图的确定性多项式时间导航？
• RQ3 关于二次型整数解密度的猜想1.1是否能确保该算法在多项式时间内终止？
• RQ4 LPS Ramanujan图 $ X^{p,q} $ 的渐近直径是多少？能否利用二次型的强逼近性质对其进行界定？
• RQ5 该路径查找算法在实践中能否高效实现？其输出路径长度与路径长度的理论下界接近程度如何？

主要发现

• 在多项式时间整数分解和猜想1.1的假设下，该算法可在 $ \log q $ 的确定性多项式时间内计算出 $ X^{p,q} $ 中任意两个对角顶点之间的最短路径。
• 该算法保证：除最多 $ 89q^4 / p^{\alpha-1} $ 对顶点外，其余所有顶点对的路径长度均被限制在 $ \max(\alpha, 3\log_p q + \gamma\log_p\log q + \log_p C_\gamma + \log_p 89) $ 以内，表明其性能接近最优。
• 当 $ q $ 较大时，从单位元到任意对角顶点的距离至多为 $ (4/3)\log_p|X^{p,q}| + \log_p(89) $，与图的猜想渐近直径一致。
• 数值结果表明，对于100位素数 $ q $，该算法生成的路径长度为432，距离理论下界 $ 3\log_5 q \approx 428.5 $ 仅差两步，表明其近乎最优。
• 该算法对矩阵 $ \begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix} $ 的输出路径长度为571，与 $ 4\log_5 q \approx 571.20 $ 非常接近，支持该值为 $ X^{p,q} $ 的渐近直径的猜想。