[论文解读] Complexity of the quorum intersection property of the Federated Byzantine Agreement System

Łukasz Lachowski|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Distributed systems and fault tolerance参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文确定了联邦拜占庭协议系统（FBAS）中核心问题的计算复杂度，证明了不相交法定人数问题为 NP-完全问题，最小法定人数问题为 NP-难问题。此外，本文表明法定人数子集问题为 P-完全问题，且可在线性时间内求解，同时分析了参数复杂度，证明了 x-y-MQP(k) 问题为 W[1]-难问题，并在有界法定人数片段约束下展示了固定参数可塑性。

ABSTRACT

A Federated Byzantine Agreement System is defined as a pair $(V, Q)$ comprising a set of nodes $V$ and a quorum function $Q: V \mapsto 2^{2^{V}} \setminus \{\emptyset\}$ specifying for each node a set of subsets of nodes, called quorum slices. A subset of nodes is a quorum if and only if for each of its nodes it also contains at least one of its quorum slices. The Disjoint Quorums Problem answers the question whether a given instance of \acrlong{fbas} contains two quorums that have no nodes in common. We show that this problem is $\mathsf{NP-complete}$. We also study the problem of finding a quorum of minimal size and show it is $\mathsf{NP-hard}$. Further, we consider the problem of checking whether a given subset of nodes contains a quorum for some selected node. We show this problem is $\mathsf{P-complete}$ and describe a method that solves it in linear time with respect to number of nodes and the total size of all quorum slices. Moreover, we analyze the complexity of some of these problems using the parametrized point of view.

研究动机与目标

• 确定联邦拜占庭协议系统（FBAS）中不相交法定人数问题的计算复杂度。
• 分析在 FBAS 配置中寻找最小和最小法定人数的复杂度。
• 研究验证给定节点集合是否包含特定节点的法定人数的复杂度。
• 在有界法定人数片段约束下，研究法定人数问题的参数化复杂度。
• 为最小法定人数问题的参数化变体建立固定参数可塑性和难解性结果。

提出的方法

• 通过从 3-SAT 问题约化，证明不相交法定人数问题为 NP-完全问题，采用带随机着色的颜色编码技术以检测不相交法定人数。
• 通过基于节点集合和法定人数片段的动态规划构造线性时间算法，证明法定人数子集问题为 P-完全问题。
• 应用颜色编码与通用集合去随机化技术，设计出不相交法定人数问题（k）的随机化 FPT 算法，时间复杂度为 O(2^k * n)。
• 通过从 Clique(k) 问题的 FPT 约化，证明 x-y-MQP(k) 问题为 W[1]-难问题，表明即使使用紧凑的法定人数片段编码，该问题仍难以求解。
• 采用有界搜索与剪枝策略，以 O((kr)^k * n^O(1)) 时间求解 MQP(k,r)，在有界法定人数片段数量下建立固定参数可塑性。
• 区分普通 FBAS（显式枚举法定人数片段）与 x-y-FBAS（使用 "x 选 y" 压缩编码），在两种模型下分析复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在每个节点最多有两个法定人数片段且每个片段最多包含两个元素的受限配置下，FBAS 中的不相交法定人数问题是否仍为 NP-完全问题？
• RQ2 当以法定人数大小 k 和每个节点最多拥有的法定人数片段数 r 为参数时，最小法定人数问题的参数化复杂度如何？
• RQ3 法定人数子集问题是否可在多项式时间内求解，其精确复杂度类为何？
• RQ4 当使用 "x 选 y" 表示法对法定人数片段进行紧凑编码时，x-y-MQP(k) 问题是否为 W[1]-难问题？
• RQ5 在结构约束（如有界法定人数片段大小和每个节点的片段数量）下，最小法定人数问题是否仍为 NP-难问题？

主要发现

• 即使在每个节点最多有两个法定人数片段且每个片段最多包含两个节点的受限情况下，不相交法定人数问题仍为 NP-完全问题。
• 法定人数子集问题为 P-完全问题，本文提出了一种线性时间算法，时间复杂度为 O(n + m)，其中 n 为节点数，m 为所有法定人数片段的总大小。
• 即使每个节点最多有两个法定人数片段且每个片段最多包含两个成员，最小法定人数问题仍为 NP-难问题。
• x-y-MQP(k) 问题为 W[1]-难问题，表明其在标准参数化方式（以法定人数大小 k 为参数）下极不可能为固定参数可塑问题。
• MQP(k,r) 问题为固定参数可塑问题，可在 O((kr)^k * n^O(1)) 时间内求解，表明每个节点的法定人数片段数量有界时，可实现高效的参数化求解。
• 不相交法定人数问题（k）的随机化 FPT 算法时间复杂度为 O(2^k * n)，具有常数成功概率，可通过通用集合实现去随机化。