[论文解读] Complexity of weakly null sequences

Dale E. Alspach, Spiros A. Argyros|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 1992

Advanced Banach Space Theory参考文献 17被引用 159

一句话总结

本文引入了一种新的序数指标——振荡指标，用于衡量巴拿赫空间中弱零序列的复杂性，特别是在 $C(K)$ 空间中。通过迭代施雷尔类型构造，作者构造出振荡指标高达 $\omega_1$ 的指示函数弱零序列，并利用这些序列构建具有高指标的类似采尔森（Tsirelson）的反射性空间，同时将该指标与贝尔-1类函数的拉夫连蒂耶夫（Lavrentiev）指标联系起来，并改进了关于弱零序列平均化的已有结果。

ABSTRACT

We introduce an ordinal index which measures the complexity of a weakly null sequence, and show that a construction due to J. Schreier can be iterated to produce for each alpha < omega_1, a weakly null sequence (x^{alpha}_n)_n in C(omega^{omega^{alpha}})) with complexity alpha. As in the Schreier example each of these is a sequence of indicator functions which is a suppression-1 unconditional basic sequence. These sequences are used to construct Tsirelson-like spaces of large index. We also show that this new ordinal index is related to the Lavrentiev index of a Baire-1 function and use the index to sharpen some results of Alspach and Odell on averaging weakly null sequences.

研究动机与目标

• 定义并分析一种新的序数指标——称为振荡指标，用于衡量巴拿赫空间中弱零序列的复杂性。
• 将施雷尔的构造方法推广，以在 $C(\omega^{\omega^\alpha})$ 中构造出振荡指标为 $\alpha$ 的弱零序列的特征函数，其中 $\alpha < \omega_1$。
• 将振荡指标与其它已知的序数指标（包括布哈因的 $\ell^1$-指标和贝尔-1类函数的拉夫连蒂耶夫指标）联系起来。
• 将该指标应用于构造具有大振荡指标的反射性类似采尔森空间，并改进关于弱零序列平均化的已有结果。
• 澄清振荡指标、可伸展模型指标与平均化指标之间的关系，表明前者通常小于后者。

提出的方法

• 通过在弱零序列中对范数收敛失败的跟踪，利用集合 $S^\alpha(\epsilon, (x_n), K)$ 的超限迭代来定义振荡指标。
• 在序数 $\omega^{\omega^\alpha}$ 上使用基于树的构造，生成具有受控交集性质的特征函数弱零序列。
• 通过在可数序数上的归纳论证，建立振荡指标与可伸展模型指标之间的等价性。
• 将振荡指标与序列逐点极限的拉夫连蒂耶夫指标联系起来，证明振荡指标上界不超过拉夫连蒂耶夫指标。
• 应用奥戴尔（Odell）的方法，通过将构造出的序列作为无条件基序列，构建具有大振荡指标的反射性类似采尔森空间。
• 证明平均化指标可以超过 $\ell^1$-指标，通过构造一个不含 $\ell^1$ 的空间，其序列的平均化指标为 $\omega_1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的序数指标，以序列振荡行为为依据来衡量弱零序列的复杂性？
• RQ2 能否通过迭代施雷尔类型构造，在 $C(K)$ 空间中构造出振荡指标任意大的弱零序列？
• RQ3 振荡指标如何与布哈因的 $\ell^1$-指标及贝尔-1类函数的拉夫连蒂耶夫指标相关联？
• RQ4 振荡指标在多大程度上控制了弱零序列中存在范数零凸块子序列的存在性？
• RQ5 能否利用高振荡指标的序列构造出类似采尔森空间的反射性巴拿赫空间，且其指标较大？

主要发现

• 对每个满足 $\alpha < \omega_1$ 的可数序数 $\alpha$，在 $C(\omega^{\omega^\alpha})$ 中存在一个弱零序列 $\left(x_n^\alpha\right)$，其振荡指标恰好为 $\alpha$。
• 振荡指标始终小于或等于序列逐点极限的拉夫连蒂耶夫指标，从而建立了序列复杂性与函数类之间的直接联系。
• 振荡指标严格小于 $\ell^1$-指标，特别地，一个序列的振荡指标可以为 $\omega$，而其 $\ell^1$-指标为 $\omega_1$。
• 对于任意弱零序列，其可伸展模型指标与平均化指标在某个子序列上一致，这加强了阿尔斯帕奇与奥戴尔关于性质-$A(k)$ 的结果。
• 可以构造一个具有平均化指标 $\omega_1$ 但不包含 $\ell^1$ 的反射性类似采尔森空间，表明平均化指标不受 $\ell^1$-指标的限制。
• 振荡指标在强意义上关于子序列选取是不变的：对任意弱零序列，总存在一个子序列，使得在进一步选取子序列时振荡指标保持不变。