[论文解读] Compositional semantics for new paradigms: probabilistic, hybrid and beyond

Fredrik Dahlqvist, Renato Neves|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Semantic Web and Ontologies参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于 Kleisli 表示的通用单子框架，用于系统性地分析和组合新编程范式（包括概率编程和混合编程）的语义。它对自然变换进行了完整分类，以确定哪些程序操作（如非确定性、失败和条件选择）是受支持的，表明虽然概率单子和混合单子无法支持标准的失败与非确定性组合，但可以通过与 Maybe 单子和幂集单子的单子组合进行扩展，从而实现表达性强且语义正确的系统。

ABSTRACT

Emerging computational paradigms, such as probabilistic and hybrid programming, introduce new primitive operations that often need to be combined with classic programming constructs. However, it still remains a challenge to provide a semantics to these features and their combination in a systematic manner. For this reason, we introduce a generic, monadic framework that allows us to investigate not only which programming features a given paradigm supports, but also on how it can be extended with new constructs. By applying our method to the probabilistic and hybrid case, we list for example all binary program operations they possess, and show precisely when and if important axioms such as commutativity and idempotency hold. Using this framework, we also study the possibility of incorporating notions of failure and non-determinism, and obtain new results on this topic for hybrid and probabilistic programming.

研究动机与目标

• 解决在统一的语义框架中系统性地组合新计算特性（如概率选择、混合动态、失败和非确定性）的挑战。
• 确定经典程序操作（如条件选择、非确定性、失败）在建模概率计算和混合计算的单子中是否可以有意义地解释。
• 对形式为 $T^n \to T$ 的自然变换进行形式化、详尽的分类，以识别给定单子所支持的程序操作。
• 解决关于复合单子（如 $\mathsf{P}\mathsf{D}$）上单子结构存在的开放问题，并探索扩展计算效应的可行替代方案。

提出的方法

• 本文引入了 Kleisli $T$-表示的框架，将程序解释为单子 $T$ 的 Kleisli 范畴中的自同态，从而将指称语义重新解释为表示论。
• 二元程序操作通过自然变换 $T \times T \to T$ 建模，从而能够完整枚举给定单子所支持的操作。
• 该框架使用分配律和强度来组合单子，从而系统性地扩展语义，支持失败（$\mathsf{Maybe}$）和非确定性（$\mathsf{P}$ 或 $\mathsf{Q}$）等特性。
• 该框架被应用于概率单子（$\mathsf{D}$）和混合单子（$\mathsf{H}$），推导出 if-then-else 和概率选择等构造的显式表示。
• 本文证明了 $\mathsf{P}\mathsf{D}$ 上不存在单子结构，强化了已知结果，同时表明 $\mathsf{Q}\mathsf{H}$ 具有分配律，因此支持组合语义。
• 通过显式的范畴论推理，验证了标准代数定律（如幂等性和交换性），从而确立了所构造表示的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些经典程序操作（如条件选择、非确定性选择和失败）可以被建模新计算范式（如概率编程或混合编程）的单子所支持？
• RQ2 能否为表示概率选择与非确定性组合的单子 $\mathsf{P}\mathsf{D}$ 赋予有效的单子结构？
• RQ3 是否存在分配律，使得混合单子 $\mathsf{H}$ 可与非空幂集单子 $\mathsf{Q}$ 组合，以建模混合非确定性？
• RQ4 如何在结合概率与非确定性效应的单子中，正式表示 if-then-else 语句的语义？
• RQ5 在 Kleisli 框架中，程序操作表示的典型代数性质（如幂等性和交换性）在多大程度上成立？

主要发现

• 在 $\mathsf{P}\mathsf{D}$ 上不存在单子结构，解决了开放问题，并表明概率选择与非确定性无法以标准方式组合。
• Kleisli $\mathsf{D}\mathsf{M}$-表示的 if-then-else 与 Kozen 的语义一致，确认了其正确性并符合现有研究。
• 单子 $\mathsf{Q}\mathsf{H}$ 具有分配律 $\delta: \mathsf{H}\mathsf{Q} \to \mathsf{Q}\mathsf{H}$，从而支持混合非确定性的明确定义语义。
• 该框架提供了对自然变换 $T^n \to T$ 的完整分类，使得任何单子 $T$ 所支持的程序操作均可被完整枚举。
• Kleisli $T\mathsf{M}$-表示的 if-then-else 满足关键代数定律，包括幂等性 ($\llbracket p +_b p \rrbracket = \llbracket p \rrbracket$) 和交换性 ($\llbracket p +_b q \rrbracket = \llbracket q +_{\bar{b}} p \rrbracket$)。
• 将 $T$ 与 $\mathsf{Maybe}$ 单子组合，可实现对失败、测试和条件选择的语义正确且表达力强的表示，形成表达力与复杂性之间的‘最佳平衡点’。