[论文解读] Compositories and Gleaves

Cecilia Flori, T. A. Fritz|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2013

Advanced Algebra and Logic被引用 7

一句话总结

本文引入了“gleaves”——即带有兼容局部截面的典范粘合操作的预层——以建模包含非局部或全局几何信息的数学结构，如度量和联合概率分布。此外，本文还定义了“compositories”为单形范畴Δ上的gleaves，其将高阶范畴推广为组合操作保持原始态射作为面的结构，并应用于范畴的神经复形和高阶跨度。

ABSTRACT

Sheaves are objects of a local nature: a global section is determined by how it looks locally. Hence, a sheaf cannot describe mathematical structures which contain global or nonlocal geometric information. To fill this gap, we introduce the theory of "gleaves", which are presheaves equipped with an additional "gluing operation" of compatible pairs of local sections. This generalizes the conditional product structures of Dawid and Studený, which correspond to gleaves on distributive lattices. Our examples include the gleaf of metric spaces and the gleaf of joint probability distributions. A result of Johnstone shows that a category of gleaves can have a subobject classifier despite not being cartesian closed. Gleaves over the simplex category $Δ$, which we call compositories, can be interpreted as a new kind of higher category in which the composition of an $m$-morphism and an $n$-morphism along a common $k$-morphism face results in an $(m+n-k)$-morphism. The distinctive feature of this composition operation is that the original morphisms can be recovered from the composite morphism as initial and final faces. Examples of compositories include nerves of categories and compositories of higher spans.

研究动机与目标

• 为解决层在捕捉全局几何信息（如度量空间和概率分布）方面的局限性，其中局部数据无法唯一确定全局结构。
• 形式化一类新的类似预层的结构——“gleaves”——其包含兼容局部截面的典范粘合操作，扩展了层的框架。
• 将“compositories”定义为单形范畴Δ上gleaves的特例，引入一种新颖的高阶范畴组合操作，该操作保持原始态射作为面。
• 探索这些结构的范畴论与普遍性质，包括其在不为笛卡尔闭范畴的情况下仍支持子对象分类器的可能性。
• 研究gleaves与丰富范畴、纤维范畴及图式模型之间的联系，旨在为非局部几何与概率结构建立更广泛的范畴论基础。

提出的方法

• 引入‘gleaves’作为带有双覆盖结构的范畴上的预层，配备将兼容局部截面粘合成全局截面的粘合操作。
• 将compositories定义为单形范畴Δ上的gleaves，其中沿公共k-面组合m-与n-态射，产生一个(m+n−k)-态射，且原始态射可作为初始与最终面恢复。
• 将理论应用于具体例子：通过下确界路径延拓定义的度量gleaf，通过Vorob’ev定理定义的联合概率分布gleaf，以及关系数据库。
• 利用Johnstone关于非笛卡尔闭范畴中子对象分类器的结果，表明gleaves范畴即使不为笛卡尔闭，仍可支持逻辑结构。
• 建立gleaves与弱张量函子之间的联系，并探索粘合操作的普遍性质，如在度量空间中的最小性。
• 提出一种基于小范畴上双覆盖的gleaves的图式理论模型，暗示该结构的范畴公理化可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何形式化无法由层捕捉的、具有非局部几何或概率信息的数学结构？
• RQ2 ‘gleaf’——即带有兼容局部截面典范粘合操作的预层——的范畴结构是什么？它如何推广层与叠？
• RQ3 能否通过compositories推广高阶范畴中态射的组合，使得原始态射可作为复合的面被恢复？
• RQ4 如度量与概率分布等例子中的粘合操作是否具有普遍性质，如最小性或初等性？
• RQ5 纤维范畴与丰富范畴如何与gleaf的概念相关联？gleaf结构能否从这些范畴框架中推导而出？

主要发现

• 在集合X上的度量gleaf可通过下确界路径度量作为典范粘合操作而良好定义，且在度量的逐点序下为最小。
• 对于联合概率分布，gleaf结构仅在特定条件下允许将兼容的二元边际一致扩展为三元分布，推广了Vorob’ev定理。
• 在Δ上的compositories提供了一种新的高阶范畴框架，其中沿k-面组合m-与n-态射产生一个(m+n−k)-态射，且原始态射可作为初始与最终面恢复。
• gleaves范畴即使不为笛卡尔闭，仍可容纳子对象分类器，如Johnstone的结果所示，表明gleaves支持内部逻辑。
• 度量空间gleaf中的粘合操作具有普遍性质：其生成的度量是给定兼容局部度量的最小扩展，暗示范畴意义下的最小性条件。
• 本文证明，带有双覆盖的小范畴上的gleaf可建模为一个集合论意义上的图式模型，表明该结构存在潜在的公理化路径。