[论文解读] Compressed Blind De-convolution

Venkatesh Saligrama, Manqi Zhao|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2009

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种凸优化框架，用于对由未知稳定自回归（AR）系统滤波的稀疏信号进行压缩盲反卷积。通过利用卷积的交换性质并使用托普利茨感知矩阵，该方法在温和的稳定性和稀疏性条件下，通过ℓ₁-最小化从O(k log n)组随机测量中可靠地恢复出稀疏输入和未知滤波器。

ABSTRACT

Suppose the signal x is realized by driving a k-sparse signal u through an arbitrary unknown stable discrete-linear time invariant system H. These types of processes arise naturally in Reflection Seismology. In this paper we are interested in several problems: (a) Blind-Deconvolution: Can we recover both the filter $H$ and the sparse signal $u$ from noisy measurements? (b) Compressive Sensing: Is x compressible in the conventional sense of compressed sensing? Namely, can x, u and H be reconstructed from a sparse set of measurements. We develop novel L1 minimization methods to solve both cases and establish sufficient conditions for exact recovery for the case when the unknown system H is auto-regressive (i.e. all pole) of a known order. In the compressed sensing/sampling setting it turns out that both H and x can be reconstructed from O(k log(n)) measurements under certain technical conditions on the support structure of u. Our main idea is to pass x through a linear time invariant system G and collect O(k log(n)) sequential measurements. The filter G is chosen suitably, namely, its associated Toeplitz matrix satisfies the RIP property. We develop a novel LP optimization algorithm and show that both the unknown filter H and the sparse input u can be reliably estimated.

研究动机与目标

• 解决从压缩的、含噪声的测量中重建稀疏输入信号和未知稳定线性时不变（LTI）滤波器的挑战。
• 将压缩感知理论扩展到变换矩阵既非正交也未知的情况，特别是针对滤波后的稀疏过程。
• 开发一种凸优化算法，联合估计稀疏输入和未知滤波器，并具备理论性能保证。
• 表征在实际信号模型下实现稳定且精确恢复所需的最少随机测量数。
• 提供ℓ₁-最小化方法能够实现稀疏信号和滤波器参数精确或近似精确恢复的理论条件。

提出的方法

• 将观测信号建模为k-稀疏输入与已知阶数的未知稳定AR滤波器的卷积。
• 使用随机高斯或伯努利分布的托普利茨感知矩阵压缩滤波后的信号，通过卷积的交换性保持结构。
• 通过利用压缩信号差分为稀疏这一事实，将问题转化为标准压缩感知框架。
• 制定一个凸优化问题，通过在满足线性测量约束下最小化稀疏输入的ℓ₁-范数，实现鲁棒恢复。
• 利用有限阶AR系统的消去滤波器特性，减少未知参数数量并提高可辨识性。
• 在适当假设下，利用托普利茨矩阵的受限等距性质（RIP）和集中不等式，建立理论恢复保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从少量随机线性测量中重建被未知稳定AR滤波器污染的稀疏信号？
• RQ2 实现稀疏输入和未知滤波器稳定且精确恢复所需的最少测量数是多少？
• RQ3 使用结构化的托普利茨感知矩阵是否能保持ℓ₁-最小化成功所必需的受限等距性质？
• RQ4 该算法的性能如何随不同感知矩阵集合（高斯与伯努利）及滤波器阶数的变化而变化？
• RQ5 在何种条件下，ℓ₁-最小化方法能保证稀疏输入和滤波器参数的精确恢复？

主要发现

• 所提出的ℓ₁-最小化算法在滤波器稳定且阶数已知的条件下，能从O(k log n)组随机测量中成功恢复稀疏输入和未知AR滤波器。
• 在较温和条件下（如脉冲分隔良好且噪声有界），该方法以高概率实现精确恢复。
• 数值实验表明，对于相同测量规模，伯努利分布的托普利茨感知矩阵在经验成功率上优于高斯矩阵。
• 即使在中等噪声水平下，该算法仍能保持高恢复精度，当m=50且n=200时，稀疏度k≤20的条件下成功率超过90%。
• 当AR模型违反稳定性条件时（例如一阶差分模型中α=1），恢复性能显著下降，证实了稳定性假设的必要性。
• 随着滤波器阶数p的增加，成功率下降，但当使用m=80且n=200的伯努利托普利茨矩阵时，p≤15的条件下成功率仍保持在80%以上。