[论文解读] Compressed Decision Problems in Hyperbolic Groups

Derek F. Holt, Markus Lohrey+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用 4

一句话总结

本文证明了在双曲群中，压缩词问题、共轭问题、同时共轭问题、中心化子问题以及背包问题均可在多项式时间内求解。其核心贡献是提出了一种多项式时间算法，用于计算短字典序约化的直线程序（straight-line programs），从而高效求解该类群中的多个判定问题。

ABSTRACT

We prove that the compressed word problem and the compressed simultaneous conjugacy problem are solvable in polynomial time in hyperbolic groups. In such problems, group elements are input as words defined by straight-line programs defined over a finite generating set for the group. We prove also that, for any infinite hyperbolic group G, the compressed knapsack problem in G is NP-complete.

研究动机与目标

• 建立双曲群中压缩词问题的多项式时间可解性。
• 将该结果扩展至压缩版本的共轭问题、同时共轭问题、中心化子问题与背包问题。
• 证明无限双曲群中压缩背包问题为 NP 完全问题。
• 证明双曲群的自同构群与外自同构群的词问题可在多项式时间内求解。
• 提供一种用于双曲群中由直线程序表示的群元素进行短字典序约化的基础算法。

提出的方法

• 为任意给定输入程序开发一种多项式时间算法，用于计算双曲群中短字典序约化的直线程序。
• 利用双曲群的几何性质，包括线性等周不等式与拟凸性，以界定词长并实现高效约化。
• 应用格罗莫夫双曲性与自动结构的相关结果，确保有界长度的群元素可被常数时间处理。
• 采用直线程序（SLP）技术以紧凑方式表示和操作群元素，从而高效计算乘积与共轭。
• 通过共轭与子群分析，将压缩的同时共轭问题与中心化子问题约化为有界长度的词问题。
• 利用定理 6.6（背包表达式的解空间有界）将搜索空间缩小至输入长度的指数规模，从而通过 SLP 求值实现 NP 验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 双曲群中压缩词问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 双曲群中压缩的同时共轭问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ3 双曲群中压缩的中心化子问题是否可高效求解？
• RQ4 无限双曲群中压缩背包问题的计算复杂度如何？
• RQ5 压缩词问题的可解性是否意味着双曲群的 Aut(G) 与 Out(G) 的词问题也可在多项式时间内求解？

主要发现

• 任何双曲群的压缩词问题均可通过直线程序的短字典序约化算法在多项式时间内求解。
• 压缩的同时共轭问题可在多项式时间内求解，且当解存在时，共轭元素可多项式时间计算。
• 压缩的中心化子问题可在多项式时间内求解，且对有界长度输入，中心化子的生成元可常数时间计算。
• 对任意无限双曲群，压缩背包问题为 NP 完全问题，且解的大小被限制在输入大小的多项式范围内。
• 通过约化至压缩词问题与同时共轭问题，双曲群的自同构群与外自同构群的词问题可在多项式时间内求解。
• 短字典序约化算法运行于多项式时间，其基础为双曲群的几何与组合性质，包括拟凸性与有界挠群性质。