[论文解读] Compressed Sensing Matrices from Fourier Matrices

Guangwu Xu, Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 34被引用 3

一句话总结

本论文通过Katz方法的特征和估计，从傅里叶矩阵出发，提出了一种确定性构造压缩感知（CS）矩阵的方法，实现了与DeVore的二进制CS矩阵相当的改进后稀疏性界。该方法生成了近似互为无偏基（AMUBs），并在数值实验中优于随机采样，理论保证了当 $k \lesssim \sqrt{m}$ 时对 $k$-稀疏信号的恢复。

ABSTRACT

The class of Fourier matrices is of special importance in compressed sensing (CS). This paper concerns deterministic construction of compressed sensing matrices from Fourier matrices. By using Katz' character sum estimation, we are able to design a deterministic procedure to select rows from a Fourier matrix to form a good compressed sensing matrix for sparse recovery. The sparsity bound in our construction is similar to that of binary CS matrices constructed by DeVore which greatly improves previous results for CS matrices from Fourier matrices. Our approach also provides more flexibilities in terms of the dimension of CS matrices. As a consequence, our construction yields an approximately mutually unbiased bases from Fourier matrices which is of particular interest to quantum information theory. This paper also contains a useful improvement to Katz' character sum estimation for quadratic extensions, with an elementary and transparent proof. Some numerical examples are included.

研究动机与目标

• 提出一种从傅里叶矩阵出发的确定性方法，用于构造压缩感知矩阵，确保稀疏信号的稳定且鲁棒的恢复。
• 在先前确定性构造的基础上，进一步提升基于傅里叶的CS矩阵的稀疏性界，逼近理论极限 $k = O(\sqrt{m})$。
• 建立所构造的CS矩阵与近似互为无偏基（AMUBs）之间的联系，该联系在量子信息理论中具有重要意义。
• 提供一种可构造的框架，增强在保持强理论性能保证前提下的矩阵维度灵活性。

提出的方法

• 利用Katz对二次扩张的特征和估计，控制基于傅里叶矩阵的互相关性。
• 通过有限域上的对数映射，从归一化的 $N \times N$ 傅里叶矩阵 $\mathcal{F}^{(N)}$ 中选择行，形成确定性的部分傅里叶矩阵 $\Phi$。
• 在 $\mathbb{F}_q$ 上使用对数映射 $\log_g(t - \alpha) \mod N$ 生成行选择的索引集 $M$，以确保低相干性。
• 应用代数数论和指数和估计，对所得矩阵 $\Phi$ 的互相关常数 $\mu$ 进行有界。
• 推导出 $\ell_1$ 最小化可恢复 $k$-稀疏信号的稀疏性 $k$ 的理论界，表明 $k < \frac{1}{2}(\frac{1}{\mu} + 1)$。
• 通过在 $m \times N$ 矩阵上使用OMP和BP恢复算法，对 $m = q$，$N = q^2 - 1$ 或 $N = \frac{p^3 - 1}{p - 1}$ 的情形进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 从傅里叶矩阵中通过确定性行选择，能否获得互相关性接近Welch界（Welch bound）的压缩感知矩阵？
• RQ2 能否将基于傅里叶的确定性CS矩阵的稀疏性界提升至与二进制构造所达到的 $k = O(\sqrt{m})$ 阈值相当？
• RQ3 所提出的构造是否能生成近似互为无偏基？其在量子信息理论中的意义是什么？
• RQ4 在稀疏信号恢复成功率方面，确定性部分傅里叶矩阵相较于随机采样表现如何？

主要发现

• 所提出的确定性构造实现了稀疏性界 $k < \frac{1}{2}(\frac{1}{\mu} + 1)$，其中 $\mu$ 通过Katz的特征和估计进行控制，结果为 $k \lesssim \sqrt{m}$，与DeVore的二进制矩阵结果一致。
• 该方法从傅里叶矩阵中构造出近似互为无偏基，该结构在量子信息和量子态层析中具有重要意义。
• 数值实验表明，确定性部分傅里叶矩阵在OMP和BP恢复中均持续优于随机采样，甚至在理论稀疏性阈值之外也表现更优。
• 对于 $q = 29$，$m = 29$，$N = 840$，该确定性矩阵在 $k \leq 10$ 时BP恢复成功率达到100%，优于随机采样。
• 对于 $q = 19$，$m = 19$，$N = 381$，该确定性矩阵在 $k \leq 20$ 范围内保持了 $\Phi_T^T \Phi_T$ 的稳定特征值统计，表明其具有类似RIP的强行为。
• 本文提供了Katz对二次扩张特征和估计的改进且更易理解的初等证明，增强了其透明度和适用性。