[论文解读] Compressed sensing with corrupted Fourier measurements

Dongcai Su|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种重加权 l1 最小化方法，用于从傅里叶测量 b = Ax₀ + f₀ 中恢复稀疏信号 x₀ 和被污染的噪声 f₀，其中 f₀ 的非零条目占正比例。当 m = O(card(x₀) log n log n) 且 n 为素数时，在仅假设 x₀ 稀疏的条件下，该方法在高概率下可实现精确恢复，无需对 x₀ 施加额外假设。

ABSTRACT

This paper studies a data recovery problem in compressed sensing (CS), given a measurement vector b with corruptions: b=Ax0+f0, can we recover x0 and f0 via the reweighted l1 minimization: minimize |x| + lambda*|f| subject to Ax+f=b? Here the m by n measurement matrix A is a partial Fourier matrix, x0 denotes the n dimensional ground true signal vector, f0 denotes the m-dimensional corrupted noise vector, it is assumed that a positive fraction of entries in the measurement vector b are corrupted by the non-zero entries of f0. This problem had been studied in literatures [1-3], unfortunately, certain random assumptions (which are often hard to meet in practice) are required for the signal x0 in these papers. In this paper, we show that x0 and f0 can be recovered exactly by the solution of the above reweighted l1 minimization with high probability provided that m>O(card(x0)log(n)log(n)) and n is prime, here card(x0) denotes the cardinality (number of non-zero entries) of x0. Except the sparsity, no extra assumption is needed for x0.

研究动机与目标

• 解决当测量向量中存在正比例条目被污染时，从傅里叶测量中恢复稀疏信号和被污染噪声的挑战。
• 克服先前工作中对信号 x₀ 所需的强且通常不切实际的随机假设的局限性。
• 在仅假设稀疏性与 n 为素数的最小条件下，为 x₀ 和 f₀ 的精确恢复提供理论保证。
• 建立仅依赖于 x₀ 稀疏度与维度 n 的恢复条件，无需额外的信号结构要求。

提出的方法

• 将恢复问题表述为重加权 l1 最小化：在约束 Ax + f = b 下最小化 ‖x‖₁ + λ‖f‖₁。
• 使用部分傅里叶矩阵 A 作为测量矩阵，以模拟傅里叶域采样。
• 利用傅里叶矩阵的结构及素数维度的性质，确保不相干性与有利的限制等距性质。
• 应用概率分析表明，在给定条件下，优化问题的解可高概率地精确恢复 x₀ 和 f₀。
• 利用浓度不等式与随机矩阵理论，界定恢复误差并确立所需的样本复杂度。
• 引入重加权方案，以增强 l1 范数的稀疏性促进特性，从而在标准 l1 最小化之上提升恢复性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 当信号除稀疏性外无其他结构假设时，能否从傅里叶测量中实现稀疏信号与被污染噪声的精确恢复？
• RQ2 当正比例测量条目被污染时，可靠恢复所需的最少测量数是多少？
• RQ3 n 的素性如何影响在存在被污染傅里叶测量的压缩感知中的恢复保证？
• RQ4 在傅里叶域测量存在严重污染的情况下，重加权 l1 最小化方法是否能优于标准 l1 最小化？
• RQ5 在所提框架下，高概率恢复所需的理论样本复杂度是多少？

主要发现

• 当测量数 m 满足 m = O(card(x₀) log n log n) 时，x₀ 和 f₀ 的精确恢复可在高概率下实现。
• 恢复保证仅依赖于信号 x₀ 的稀疏性与 n 为素数的假设，对 x₀ 无额外结构或随机假设。
• 重加权 l1 最小化方法即使在测量向量中正比例条目被污染时，仍能成功分离信号与污染分量。
• 理论样本复杂度与信号或噪声的动态范围无关，仅依赖于稀疏度与维度。
• 分析证实，当 n 为素数时，部分傅里叶矩阵在所提优化框架下支持稳定且鲁棒的恢复。
• 与先前工作相比，本方法通过去除对信号的限制性假设，使方法在未知信号结构的真实场景中更具适用性。