[论文解读] Compressed Sensing with Prior Information via Maximizing Correlation

Xu Zhang, Wei Cui+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新型压缩感知方法，通过最大化估计信号与先验信息之间的相关性来提升信号重建性能，采用引入相关性促进项的改进Lasso公式。在次高斯测量下，理论分析表明，良好的先验信息可显著提升恢复性能，仿真结果在多种先验类型下得到验证。

ABSTRACT

Compressed sensing (CS) with prior information concerns the problem of reconstructing a sparse signal with the aid of a similar signal which is known beforehand. We consider a new approach to integrate the prior information into CS via maximizing the correlation between the prior knowledge and the desired signal. We then present a geometric analysis for the proposed method under sub-Gaussian measurements. Our results reveal that if the prior information is good enough, then the proposed approach can improve the performance of the standard CS. Simulations are provided to verify our results.

研究动机与目标

• 通过整合超出标准稀疏性约束的先验信息，提升压缩感知的重建性能。
• 开发一种新的优化框架，显式最大化信号与先验知识之间的相关性。
• 基于次高斯测量，通过几何分析提供理论性能保证。
• 在不同先验信息条件下，验证该方法相对于现有方法的优越性。

提出的方法

• 提出新的优化问题：在满足 ||y − Ax||₂ ≤ δ 的前提下，最小化信号的 ℓ₁-范数并最大化其与先验信息的内积，形式化为 min ||x||₁ − λ⟨x, φ⟩。
• 基于切线锥与法锥、高斯宽度及次高斯随机矩阵性质，利用几何分析推导性能边界。
• 应用矩阵偏差不等式，确保次高斯感知矩阵的受限特征值条件。
• 通过有效维度 v 推导性能阈值，该值决定成功恢复所需的测量数。
• 分析不同先验偏移（在支撑集上、补集上或任意位置）对恢复阈值 v 的影响。
• 采用相变曲线与均方误差比较，评估不同方法的性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大化信号与先验信息之间的相关性是否能提升压缩感知的恢复性能？
• RQ2 先验信息的质量如何影响成功恢复所需的测量数？
• RQ3 在不同类型的先验信息下，所提出的相关性最大化方法与标准Lasso及 ℓ₁-ℓ₁/ℓ₁-ℓ₂ 最小化方法相比表现如何？
• RQ4 在次高斯测量下，所提方法的理论性能阈值（以有效维度 v 表示）是什么？
• RQ5 在何种条件下，所提方法优于现有的基于先验的压缩感知技术？

主要发现

• 当先验信息足够准确且与真实信号高度相关时，所提方法的重建性能优于标准Lasso。
• 相变曲线显示，支撑集上的偏移（尤其是与真实信号同方向）可改善恢复性能，而支撑集补集上的偏移则增加所需测量数。
• 对于任意偏移，当先验与信号结构对齐时，该方法优于标准压缩感知，仿真结果表明 v = n − 3s/4 + 9/16 时表现更优。
• 当先验信息稀疏时（如 ℓ₁-ℓ₁ 有利情形），ℓ₁-ℓ₁ 最小化可能优于相关性方法；然而，当先验信息密集或结构不匹配时，相关性方法表现更佳。
• 理论分析证实，若先验信息足够好，该方法可降低有效维度 v，从而减少所需测量数。
• 仿真结果表明，当先验信息与信号高度对齐时，相关性最大化方法在性能上表现最佳，尤其在信号与先验之间存在非稀疏差异的场景中。