[论文解读] Compressed Sensing with Probabilistic Measurements: A Group Testing Solution

Mahdi Cheraghchi, Ali Hormati+2 more|ArXiv.org|Sep 18, 2009

SARS-CoV-2 detection and testing参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种非自适应群体检测框架，用于在大规模人群中识别感染者，其中检测代理可能因概率性污染（例如病毒载量低或检测不完善）而无法检测到感染。通过随机建模感染传播过程，并使用概率性或显式构造的接触矩阵，该方法在高概率下实现了对最多 $k$ 名感染者的精确恢复，其中概率设计所需代理数为 $O(k^2 /log n / p^2)$，显式构造所需代理数为 $O(k^2 /log^2 n / p^2)$，并采用简单的 $O(mn)$ 解码算法。

ABSTRACT

Detection of defective members of large populations has been widely studied in the statistics community under the name "group testing", a problem which dates back to World War II when it was suggested for syphilis screening. There the main interest is to identify a small number of infected people among a large population using collective samples. In viral epidemics, one way to acquire collective samples is by sending agents inside the population. While in classical group testing, it is assumed that the sampling procedure is fully known to the reconstruction algorithm, in this work we assume that the decoder possesses only partial knowledge about the sampling process. This assumption is justified by observing the fact that in a viral sickness, there is a chance that an agent remains healthy despite having contact with an infected person. Therefore, the reconstruction method has to cope with two different types of uncertainty; namely, identification of the infected population and the partially unknown sampling procedure. In this work, by using a natural probabilistic model for "viral infections", we design non-adaptive sampling procedures that allow successful identification of the infected population with overwhelming probability 1-o(1). We propose both probabilistic and explicit design procedures that require a "small" number of agents to single out the infected individuals. More precisely, for a contamination probability p, the number of agents required by the probabilistic and explicit designs for identification of up to k infected members is bounded by m = O(k^2 (log n)/p^2) and m = O(k^2 (log n)^2 /p^2), respectively. In both cases, a simple decoder is able to successfully identify the infected population in time O(mn).

研究动机与目标

• 解决在采样过程仅部分已知（由于概率性污染）时，从大规模人群中识别少量感染者所面临的挑战。
• 设计非自适应采样程序，即使在因感染传播失败导致代理检测存在不确定性的情况下，也能确保感染者的精确恢复。
• 提供接触矩阵的概率性和显式构造方法，确保在随机感染模型下以高概率成功识别感染者。
• 与经典群体检测相比，显著减少所需检测（代理）数量，尤其在存在污染的情况下。

提出的方法

• 将感染过程建模为概率性污染，即代理以概率 $1-p$ 无法检测到感染接触，从而在测量过程中引入不确定性。
• 采用随机接触矩阵构造方法，其中每个代理随机采样一组个体，矩阵条目独立抽取以反映接触和感染的概率。
• 应用 $(k,e)$-可分离矩阵的概念，确保任意 $k$ 名感染者的集合不会被其他任意 $k$ 名个体的并集所掩盖，即使在污染条件下亦然。
• 采用概率分析表明，当代理数量 $m$ 满足 $m = O(k^2 \log n / p^2)$ 时，接触矩阵以高概率保持 $(k,e)$-可分离性。
• 利用里德-所罗门码和二进制向量扩展技术，构建显式的确定性接触矩阵，以确保对对抗性污染的鲁棒性，实现 $m = O(k^2 \log^2 n / p^2)$ 个代理。
• 设计一种简单的 $O(mn)$ 时间解码算法，通过分析所有代理的检测结果并利用接触矩阵的可分离性特性，重建感染个体集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种非自适应群体检测方案，在测量过程因概率性污染而存在不确定性时，仍能精确恢复感染者集合？
• RQ2 在概率性感染模型下，为确保以高概率恢复最多 $k$ 名感染者，所需的最少代理数量是多少？
• RQ3 我们能否构造一种显式、确定性的接触矩阵，在对抗性污染下仍能保证恢复，同时保持接近最优的测量数量？
• RQ4 污染概率 $p$ 如何影响概率构造和显式构造中所需代理数量？

主要发现

• 概率构造在 $m = O(k^2 \log n / p^2)$ 个代理下，以概率 $1 - o(1)$ 实现对最多 $k$ 名感染者的精确恢复。
• 显式构造在 $m = O(k^2 \log^2 n / p^2)$ 个代理下，可在对抗性环境中保证精确恢复，对最坏情况污染具有鲁棒性。
• 解码算法运行时间为 $O(mn)$，因此高效且适用于大规模应用。
• 该方法通过考虑采样过程的不完全知识（在现实场景如病毒筛查中常见），优于经典群体检测方法。
• 显式构造利用里德-所罗门码和二进制扩展技术，实现了确定性恢复保证，而概率构造则依赖于高概率成功。
• 分析表明，所需代理数量与 $k$ 的平方成正比，与 $n$ 的对数成正比，且与 $p$ 的平方成反比，反映出污染对测量可靠性的显著影响。