[论文解读] Compressed word problems for inverse monoids

Markus Lohrey|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2011

semigroups and automata theory参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文研究了通过直线程序（SLPs）压缩输入字的逆幺半群的压缩字问题。研究证明，秩至少为二的自由逆幺半群的压缩字问题属于Π²ᵖ（多项式层次的第二层），而对某些有限幂等表示的商幺半群，该问题为PSPACE完全——尽管其普通字问题可在对数空间内求解。此外，本文还给出了自由逆幺半群中理性子集成员关系问题的PSPACE算法，该问题被证明为PSPACE完全。

ABSTRACT

The compressed word problem for a finitely generated monoid M asks whether two given compressed words over the generators of M represent the same element of M. For string compression, straight-line programs, i.e., context-free grammars that generate a single string, are used in this paper. It is shown that the compressed word problem for a free inverse monoid of finite rank at least two is complete for Pi^p_2 (second universal level of the polynomial time hierarchy). Moreover, it is shown that there exists a fixed finite idempotent presentation (i.e., a finite set of relations involving idempotents of a free inverse monoid), for which the corresponding quotient monoid has a PSPACE-complete compressed word problem. It was shown previously that the ordinary uncompressed word problem for such a quotient can be solved in logspace. Finally, a PSPACE-algorithm that checks whether a given element of a free inverse monoid belongs to a given rational subset is presented. This problem is also shown to be PSPACE-complete (even for a fixed finitely generated submonoid instead of a variable rational subset).

研究动机与目标

• 分析逆幺半群中压缩字问题的计算复杂度，其中输入字通过直线程序（SLPs）表示。
• 确定秩≥2的自由逆幺半群的压缩字问题的精确复杂度类。
• 研究由有限幂等表示定义的商幺半群的压缩字问题是否仍保持可 tractable（可解）。
• 确定在压缩输入下，自由逆幺半群中理性子集成员关系问题的复杂度。
• 比较逆幺半群与自由幺半群和自由群在算法行为上的差异，特别是可判定性与复杂度方面。

提出的方法

• 本文使用Munn树表示自由逆幺半群的元素，通过树粘合操作实现高效的字问题求解。
• 采用直线程序（SLPs）作为字的压缩表示，实现输入规模的指数级压缩。
• 对于自由逆幺半群中压缩字问题的上界，结合了Munn的字问题算法与Lipton和Zalcstein关于自由群的对数空间结果。
• 对于下界，通过SLP编码技术将一种变体的SUBSETSUM问题归约至压缩字问题。
• 构建一个树自动机B，用于识别Munn树的语言，利用运行的多重集与标记方式模拟SLP生成的字。
• 通过将问题归约至树自动机成员关系并使用PSPACE可计算的构造，证明了理性子集成员关系的PSPACE完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于秩至少为二的自由逆幺半群，其压缩字问题的计算复杂度是什么？
• RQ2 由有限幂等表示定义的商幺半群的压缩字问题是否比普通字问题更复杂？
• RQ3 在压缩输入下，自由逆幺半群的理性子集成员关系问题是否可解？
• RQ4 与自由幺半群或自由群相比，使用SLPs作为输入表示是否会显著增加逆幺半群中算法问题的复杂度？
• RQ5 逆幺半群的压缩字问题能否在多项式时间内求解，还是需要更高阶的复杂度类？

主要发现

• 秩至少为二的自由逆幺半群的压缩字问题为Π²ᵖ完全，即多项式层次的第二通用层。
• 存在一个固定的有限幂等表示，使得其商幺半群的压缩字问题为PSPACE完全，尽管其普通字问题可在对数空间内求解。
• 提出了一种PSPACE算法，用于判断自由逆幺半群中的给定元素是否属于给定的理性子集。
• 即使理性子集固定，自由逆幺半群的理性子集成员关系问题仍为PSPACE完全。
• 自由逆幺半群的压缩字问题比自由幺半群（P时间）和自由群（P时间）更复杂，其复杂度达到Π²ᵖ完全。
• 构造一个识别Munn树语言的树自动机B的过程可在PSPACE内完成，从而支持向树自动机成员关系的归约。