[论文解读] Compressible, inviscid Rayleigh-Taylor instability

Yan Guo, Ian Tice|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文分析了在重力场中具有自由界面的两相流体系统中的可压缩、无粘性 Rayleigh-Taylor 不稳定性。通过变分法构造指数增长的法向模态解，并利用傅里叶分析将其合成，作者证明了线性化问题在 Sobolev 空间中是不适定的，这表明由于初始数据的合理解估计缺失，非线性问题也是不适定的。

ABSTRACT

We consider the Rayleigh-Taylor problem for two compressible, immiscible, inviscid, barotropic fluids evolving with a free interface in the presence of a uniform gravitational field. After constructing Rayleigh-Taylor steady-state solutions with a denser fluid lying above the free interface with the second fluid, we turn to an analysis of the equations obtained from linearizing around such a steady state. By a natural variational approach, we construct normal mode solutions that grow exponentially in time with rate like $e^{t \sqrt{\absξ}}$, where $ξ$ is the spatial frequency of the normal mode. A Fourier synthesis of these normal mode solutions allows us to construct solutions that grow arbitrarily quickly in the Sobolev space $H^k$, which leads to an ill-posedness result for the linearized problem. Using these pathological solutions, we then demonstrate ill-posedness for the original non-linear problem in an appropriate sense. More precisely, we use a contradiction argument to show that the non-linear problem does not admit reasonable estimates of solutions for small time in terms of the initial data.

研究动机与目标

• 分析在重力场中具有自由界面的两相流体系统中的可压缩、无粘性 Rayleigh-Taylor 不稳定性。
• 构造密度较大的流体位于密度较小流体之上的稳态解，满足 Rayleigh-Taylor 条件。
• 研究此类稳态解附近的线性化问题，并在 Sobolev 空间中建立不适定性。
• 证明非线性问题在短时间内缺乏合理的解估计，从而表明其不适定性。

提出的方法

• 通过求解仅依赖于竖直坐标 $x_3$ 的密度和焓分布的常微分方程，构造稳态解。
• 在线性化稳态解时，采用焓形式 $\partial_t u_\pm + u_\pm \cdot \nabla u_\pm + \nabla(h_\pm(\rho_\pm)) = -g e_3$，对可压缩 Euler 方程进行线性化。
• 应用变分法构造形如 $e^{\lambda t} e^{i\xi \cdot x'}$ 的法向模态解，其中 $\lambda \sim \sqrt{|\xi|}$，导致指数增长。
• 对这些法向模态进行傅里叶合成，生成在 $H^k$-范数下可任意快速增长的解，从而证明线性化问题的不适定性。
• 基于扰动解和弱-* 紧致性，采用反证法，证明当 $k \geq 3$ 时，非线性问题无法在 $H^k$ 中获得一致估计。
• 利用 $H^{11/4}$ 中的强收敛性并应用迹定理，将极限过程传递到扰动系统中，导出能量估计中的矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性化后的可压缩、无粘性 Rayleigh-Taylor 问题是否允许解的增长速度超过任意多项式时间？
• RQ2 在可压缩性和重力存在的情况下，能否构造出增长率为 $e^{t\sqrt{|\xi|}}$ 的法向模态解？
• RQ3 由于此类快速增长的模态，线性化问题是否在 Sobolev 空间中是不适定的？
• RQ4 此类病态线性解的存在是否意味着原非线性问题的不适定性？
• RQ5 能否证明在非线性情形下，对小时间区间内解的合理估计不存在？

主要发现

• 对于所有 $k \geq 3$，线性化问题在 $H^k$ 中是不适定的，因为通过法向模态的傅里叶合成，解可随时间任意快速增长。
• 法向模态解以速率 $e^{t\sqrt{|\xi|}}$ 指数增长，其中 $\xi$ 为空间频率，表明在所有尺度下均存在不稳定性。
• 稳态解存在，且密度较大的流体位于密度较小的流体之上，满足 $P_-(z) > P_+(z)$ 且 $P_- \neq P_+$，从而支持 Rayleigh-Taylor 不稳定性。
• 非线性问题无法对初始数据给出合理的解估计，该结论通过扰动解的反证法得以证明。
• 极限解 $(\bar{\eta}^0, \bar{v}^0, \bar{\sigma}^0)$ 满足线性化方程及边界/跳跃条件，但导致能量估计中的矛盾，从而证明当 $k \geq 3$ 时性质 $EE(k)$ 失效。
• $H^{11/4}$ 中的强收敛性以及界面上和边界上的迹收敛性，确认极限满足正确的跳跃条件和边界条件。