[论文解读] Compressible Navier-Stokes system : large solutions and incompressible limit

Raphaël Danchin, Piotr B. Mucha|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 24被引用 60

一句话总结

本文在大体积粘性系数下，建立了二维可压缩N-S方程在任意大初速度和近乎常数密度下的强解全局存在性。证明表明，当体积粘性系数 ν = λ + 2μ 足够大时，解保持全局正则性，并在 ν → ∞ 的极限下收敛于不可压缩N-S方程的解，采用临界Besov空间框架与能量-正则性估计。

ABSTRACT

Here we prove the existence of global in time regular solutions to the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations supplemented with arbitrary large initial velocity $v\\_0$ and almost constantdensity $\\varrho\\_0$, for large volume (bulk) viscosity. The result is generalized to the higher dimensional case under the additional assumption that the strong solution of the classical incompressible Navier-Stokes equations supplemented with the divergence-freeprojection of $v\\_0,$ is global. The systems are examined in $R^d$ with $d \\geq 2$, in the critical $\\dot B^s\\_{2,1}$ Besov spaces framework.

研究动机与目标

• 建立二维可压缩N-S方程在任意大初速度和近乎常数初密度下的强解全局存在性。
• 分析当体积粘性系数 ν → ∞ 时，可压缩系统向不可压缩系统的不可压缩极限，证明其收敛于不可压缩N-S方程。
• 在假设投影初速度对应的不可压缩系统具有全局强解的前提下，将结果推广至高维 d ≥ 3。
• 在临界Besov空间框架 ẆḂs₂,₁(Rᵈ) 中工作，确保正则性与稳定性估计的最优性。
• 提供解在初值范数与粘性参数方面的定量估计，尤其涉及 L∞(R₊; ẆḂ⁰₂,₁) 与 L₁(R₊; ẆḂ²₂,₁) 范数。

提出的方法

• 在初始密度与速度上使用临界空间 ẆḂ⁰₂,₁(R²) 与 ẆḂ¹₂,₁(R²)，确保最优正则性并嵌入到 L² 空间中。
• 应用Leray-Helmholtz投影 P 将初速度分解为无散与无源部分，其中 V₀ = Pv₀ 作为不可压缩系统的初值。
• 依赖于齐次Besov空间中Stokes系统的最大正则性估计，特别是端点估计：‖V‖L∞(R₊;ẆḂ⁰₂,₁) + ‖Vt, μ∇²V‖L₁(R₊;ẆḢ⁰₂,₁) ≤ C(‖V·∇V‖L₁(R₊;ẆḂ⁰₂,₁) + ‖V₀‖ẆḂ⁰₂,₁)。
• 在Besov空间中使用插值不等式与乘积法则控制非线性项，如 ‖V·∇V‖ẆḂ⁰₂,₁ ≤ C‖V‖ẆḂ¹/₂₂,₁‖∇V‖ẆḢ¹/₂₂,₁。
• 采用具有指数依赖于 V 的 L⁴(R₊;ẆḂ¹/₂₂,₁) 范数的Gronwall型估计，导出涉及 exp(C/μ⁴‖V₀‖ₗ²⁴) 的有界性。
• 应用实插值与Bootstrap方法，将 L² 能量解的正则性提升至临界Besov类中的全局解，确保 ∇²V ∈ L₁(R₊;ẆḢ⁰₂,₁)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在合适的粘性系数条件下，二维可压缩N-S方程是否能在任意大初速度与近乎常数密度下存在全局强解？
• RQ2 大体积粘性系数 ν = λ + 2μ 在稳定可压缩系统并实现大初值全局存在性中起什么作用？
• RQ3 当 ν → ∞ 时，可压缩系统的解如何演化？其是否收敛于不可压缩N-S方程的解？
• RQ4 在高维 d ≥ 3 时，若投影初速度对应的不可压缩系统在能量类中有全局解，是否可建立全局存在性？
• RQ5 在临界Besov框架下，解与初值范数及粘性参数之间的精确定量估计是什么？

主要发现

• 当 d = 2 时，对于任意初速度 v₀ ∈ ẆḢ⁰₂,₁(R²) 与初密度 ϱ₀ − 1 ∈ ẆḢ⁰₂,₁ ∩ ẆḢ¹₂,₁(R²)，只要体积粘性系数 ν 足够大，可压缩N-S系统的全局强解存在。
• 解满足估计式 ‖v‖L∞(R₊;ẆḢ⁰₂,₁) + ‖vt, ∇²v‖L₁(R₊;ẆḢ⁰₂,₁) ≤ C‖V₀‖ẆḢ⁰₂,₁ exp(C/μ⁴‖V₀‖ₗ²⁴)，其中 C 为绝对常数。
• 密度扰动 a = ϱ − 1 满足 a ∈ C(R₊; ẆḢ⁰₂,₁ ∩ ẆḢ¹₂,₁) ∩ L₂(R₊; ẆḢ¹₂,₁)，确保解的正则性与衰减性。
• 不可压缩极限得到严格证明：当 ν → ∞ 时，可压缩系统的解收敛于初值为 V₀ = Pv₀ 的不可压缩N-S方程的解。
• 在维度 d ≥ 3 时，若初值为 V₀ = Pv₀ 的不可压缩系统在能量类中有全局强解，则全局存在性成立。
• 解具有稳定性：v 的无散部分与不可压缩解 V 的差在 ẆḢ⁰₂,₁ 范数下受 ν¹/² 因子控制。