[论文解读] Compression functions of uniform embeddings of groups into Hilbert and Banach spaces

Goulnara Arzhantseva, Cornelia Druţu+1 more|ArXiv.org|Dec 14, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文構造了具有任意希爾伯特空間收縮 α ∈ [0,1] 的有限生成群，解決了 Guentner 和 Niblo 提出的問題。透過使用特定度量嵌入的群圖構造，作者實現了 asymptotic dimension 至多為 2 且 uniformly convex Banach 空間收縮等於其希爾伯特空間收縮的精確群，提供了首組收縮為 0 的此類群之例子。

ABSTRACT

We construct finitely generated groups with arbitrary prescribed Hilbert space compression αfrom the interval [0,1]. For a large class of Banach spaces E (including all uniformly convex Banach spaces), the E-compression of these groups coincides with their Hilbert space compression. Moreover, the groups that we construct have asymptotic dimension at most 3, hence they are exact. In particular, the first examples of groups that are uniformly embeddable into a Hilbert space (respectively, exact, of finite asymptotic dimension) with Hilbert space compression 0 are given. These groups are also the first examples of groups with uniformly convex Banach space compression 0.

研究动机与目标

• 構造具有任意指定希爾伯特空間收縮 α ∈ [0,1] 的有限生成群，回答 Guentner 和 Niblo 提出的問題。
• 證明對於一大類 Banach 空間 E（包括 uniformly convex 的情形），這些群的 E-收縮等於其希爾伯特空間收縮。
• 展示這些群的 asymptotic dimension 至多為 2，意味著它們是精確群，且可 uniformly 嵌入至希爾伯特空間。
• 提供首組具有 uniformly convex Banach 空間收縮 0 的群，以及具有希爾伯特空間收縮 0 的精確群之例子。

提出的方法

• 將群 G 構造為以 M_k 為頂點群（每個 M_k 為有限群）的群圖，並在 Bass-Serre 樹上使用特定度量結構。
• 定義一個 1-Lipschitz 映射 π: G → ℓ²(Γ)，利用樹上 ρ-加權範數的加權和，其中 ρ 為次可加且遞增的函數。
• 應用柯西-施瓦茨不等式與 ρ 的次可加性，以 d_G(g,h) 和對數因子表示 π(g) − π(h) 的 ℓ²-範數下界。
• 透過對群元素相對位置（S 情形與 B 情形）的分情況分析，推導出嵌入扭曲度的下界。
• 透過證明所有有限生成子群的 asymptotic dimension ≤1，並應用群圖的 asymptotic dimension 已知定理，證明 G 的 asymptotic dimension 至多為 2。
• 證明所構造群的收縮差距受 ρ 的增長與樹上對數權重函數的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否構造具有任意指定希爾伯特空間收縮 α ∈ [0,1] 的有限生成群？
• RQ2 所構造的群是否具有等於其希爾伯特空間收縮的 uniformly convex Banach 空間收縮？
• RQ3 是否存在具有希爾伯特空間收縮 0 的精確群？若存在，能否構造出具有有限 asymptotic dimension 的例子？
• RQ4 此類群中，收縮差距與 Bass-Serre 樹的度量結構之間的關係為何？
• RQ5 此構造能否推廣至產生具有 (f/log x, f) 形式的收縮差距之群，其中 f 為任意函數？

主要发现

• 作者對每個 α ∈ [0,1]，構造了一個具有精確希爾伯特空間收縮 α 的有限生成群。
• 所構造的群的 asymptotic dimension 至多為 2，因此為精確群，且可 uniformly 嵌入至希爾伯特空間。
• 對於所有 uniformly convex Banach 空間 E，這些群的 E-收縮等於其希爾伯特空間收縮。
• 這些群是目前已知首組具有希爾伯特空間收縮 0 且為精確群、具有有限 asymptotic dimension 的例子。
• 此構造產生了首組具有 uniformly convex Banach 空間收縮 0 的群之例子。
• 所構造群的收縮差距有下界，其形式涉及對數項，反映出嵌入中的度量扭曲。