[论文解读] Compressive sampling and dynamic mode decomposition

Steven L. Brunton, Joshua L. Proctor+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Blind Source Separation Techniques参考文献 53被引用 48

一句话总结

该论文提出了一种压缩采样框架，用于从高度子采样或投影的数据中计算动态模态分解（DMD），通过ℓ₁-最小化或贪婪算法实现全状态DMD特征值的精确恢复以及全状态模态的重构。当数据和模态在变换基下稀疏时，该方法在酉变换和满足限制等距性质（RIP）的测量矩阵下保持DMD特征值不变。

ABSTRACT

This work develops compressive sampling strategies for computing the dynamic mode decomposition (DMD) from heavily subsampled or output-projected data. The resulting DMD eigenvalues are equal to DMD eigenvalues from the full-state data. It is then possible to reconstruct full-state DMD eigenvectors using $\ell_1$-minimization or greedy algorithms. If full-state snapshots are available, it may be computationally beneficial to compress the data, compute a compressed DMD, and then reconstruct full-state modes by applying the projected DMD transforms to full-state snapshots. These results rely on a number of theoretical advances. First, we establish connections between the full-state and projected DMD. Next, we demonstrate the invariance of the DMD algorithm to left and right unitary transformations. When data and modes are sparse in some transform basis, we show a similar invariance of DMD to measurement matrices that satisfy the so-called restricted isometry principle from compressive sampling. We demonstrate the success of this architecture on two model systems. In the first example, we construct a spatial signal from a sparse vector of Fourier coefficients with a linear dynamical system driving the coefficients. In the second example, we consider the double gyre flow field, which is a model for chaotic mixing in the ocean.

研究动机与目标

• 在高维系统中实现通过显著减少测量次数的精确动态模态分解（DMD）。
• 在使用压缩采样对数据进行投影或子采样时，保持全状态DMD特征值不变。
• 利用稀疏恢复技术，从压缩测量中重构全状态DMD模态。
• 建立DMD在酉变换和满足RIP的测量矩阵下的理论不变性。
• 在流体动力学和地球流体动力学中展示计算和数据采集方面的优势。

提出的方法

• 利用压缩采样对空间数据进行子采样，通过酉不变性保持DMD特征值不变。
• 应用ℓ₁-最小化或贪婪算法，从压缩测量中重构全状态DMD模态。
• 利用限制等距性质（RIP）确保当数据和模态在变换基下稀疏时，实现稳定恢复。
• 对数据矩阵应用酉变换，证明DMD特征值在左或右酉变换下保持不变。
• 当可用全状态快照时，通过将投影DMD变换应用于全状态快照来重构全状态DMD模态。
• 在压缩DMD框架中，利用快照法实现SVD计算的高效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用压缩采样对数据进行子采样或投影时，DMD特征值是否可以保持不变？
• RQ2 在何种条件下，可以从压缩测量中重构全状态DMD模态？
• RQ3 DMD在酉变换下的不变性如何增强压缩感知框架中的鲁棒性？
• RQ4 在变换域中的稀疏性在实现从少量测量中准确重构DMD方面起到什么作用？
• RQ5 所提出的方法是否能在不牺牲DMD精度的前提下，减少如PIV或海洋/大气监测等应用中的数据采集负担？

主要发现

• 从压缩或投影数据中计算的DMD特征值与全状态数据中的结果完全相同，确保了相同的低维动力学模型。
• 当模态在变换基下稀疏时，可通过ℓ₁-最小化或贪婪算法准确重构全状态DMD模态。
• DMD算法在左、右酉变换下保持不变，特征值和奇异值均被保留。
• 满足限制等距性质（RIP）的测量矩阵在数据和模态稀疏时，保持DMD特征值的不变性。
• 该方法可显著减少数据采集需求——例如在PIV中——而不会损失DMD保真度。
• 当存在全状态快照时，预先对数据进行压缩并计算压缩DMD，随后进行模态重构，在计算上更具优势。