[论文解读] Compressive sensing: a paradigm shift in signal processing

Olga Holtz|ArXiv.org|Dec 16, 2008

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 110被引用 6

一句话总结

本文提出压缩感知作为信号处理范式转变，证明了稀疏信号可从远少于奈奎斯特-香农采样定理所规定的测量数中精确重建。通过利用 $β$-最小化和非相干测量矩阵，该方法能够在高概率下实现对信号的精确恢复，即使存在严重误差，彻底革新了成像和信号处理中的数据采集与压缩。

ABSTRACT

We survey a new paradigm in signal processing known as "compressive sensing". Contrary to old practices of data acquisition and reconstruction based on the Shannon-Nyquist sampling principle, the new theory shows that it is possible to reconstruct images or signals of scientific interest accurately and even exactly from a number of samples which is far smaller than the desired resolution of the image/signal, e.g., the number of pixels in the image. This new technique draws from results in several fields of mathematics, including algebra, optimization, probability theory, and harmonic analysis. We will discuss some of the key mathematical ideas behind compressive sensing, as well as its implications to other fields: numerical analysis, information theory, theoretical computer science, and engineering.

研究动机与目标

• 建立压缩感知作为新型信号采集与重建框架，突破传统奈奎斯特采样极限。
• 解决通过凸松弛和贪婪算法从欠定线性方程组中重建稀疏信号的挑战。
• 证明在已知基下具有少量非零系数的信号可通过 $β$-最小化精确恢复，即使测量值被污染。
• 探讨压缩感知的数学基础，涉及泛函分析、优化理论和概率论。
• 将压缩感知的应用范围扩展至反问题、数据压缩以及工程与科学应用中的鲁棒误差校正。

提出的方法

• 利用 $β$-最小化从不完整测量中恢复稀疏信号，将非凸的稀疏性度量替换为凸的近似。
• 采用满足限制等距性质（RIP）的随机测量矩阵 $C$，且 $n \ll N$，确保信号恢复的稳定性和鲁棒性。
• 应用框架理论和测量基与稀疏基之间非相干性的理论，以高概率保证精确重建。
• 引入非自适应、固定的测量协议，利用随机投影，实现在无需事先了解信号的情况下高效数据采集。
• 利用凸优化求解器在多项式时间内高效求解 $β$-最小化问题。
• 通过求解识别并校正测量向量中被污染条目的线性规划，证明对严重误差具有鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若信号在某一基下为稀疏，是否可从远低于奈奎斯特速率的测量数中实现精确重建？
• RQ2 何种数学条件可确保 $β$-最小化从不完整测量中精确恢复稀疏信号？
• RQ3 压缩感知如何应用于成像、数据压缩及噪声环境中误差校正等实际问题？
• RQ4 测量基与稀疏基之间的非相干性在实现稳定且鲁棒的信号恢复中起何种作用？
• RQ5 压缩感知能否扩展以处理测量中的任意破坏，包括恒定比例的严重误差？

主要发现

• 在已知基下稀疏的信号可从 $O(s \log(N/s))$ 个非自适应测量中精确重建，其中 $s$ 为稀疏度，$N$ 为信号维度。
• 当测量矩阵满足限制等距性质时，$β$-最小化方法以高概率精确恢复原始信号。
• 即使测量值中恒定比例的条目被任意破坏，通过求解适当的线性规划，信号仍可精确恢复。
• 罗切斯特大学压缩感知相机原型成功仅用 200,000 个单像素测量即重建出 500 万像素图像，实现数据采集量 25 倍的降低。
• 压缩感知通过仅采样傅里叶系数的子集，实现了磁共振成像等成像系统中的高效数据采集，前提是图像在变换域中为稀疏。
• 框架理论与非相干性理论为压缩感知提供了数学基础，其理论保证与压缩感知理论相辅相成并得到加强。