[论文解读] Compressive Space-Time Galerkin Discretizations of Parabolic Partial Differential Equations

Stig Larsson, Christoph Schwab|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种基于分数阶微积分（时间导数阶数为1/2）的变分法，对线性抛物型PDEs采用压缩时空伽辽金半离散化方法。它在稀疏张量积空间上建立了离散inf-sup条件，证明了最优收敛速率（最多含对数项），与相应椭圆问题的最佳N项逼近速率相当，且条件数一致有界，稳定性通过自适应方法实现，无需依赖负阶Sobolev空间的稳定性。

ABSTRACT

We study linear parabolic initial-value problems in a space-time variational formulation based on fractional calculus. This formulation uses "time derivatives of order one half" on the bi-infinite time axis. We show that for linear, parabolic initial-boundary value problems on $(0,\infty)$, the corresponding bilinear form admits an inf-sup condition with sparse tensor product trial and test function spaces. We deduce optimality of compressive, space-time Galerkin discretizations, where stability of Galerkin approximations is implied by the well-posedness of the parabolic operator equation. The variational setting adopted here admits more general Riesz bases than previous work; in particular, no stability in negative order Sobolev spaces on the spatial or temporal domains is required of the Riesz bases accommodated by the present formulation. The trial and test spaces are based on Sobolev spaces of equal order $1/2$ with respect to the temporal variable. Sparse tensor products of multi-level decompositions of the spatial and temporal spaces in Galerkin discretizations lead to large, non-symmetric linear systems of equations. We prove that their condition numbers are uniformly bounded with respect to the discretization level. In terms of the total number of degrees of freedom, the convergence orders equal, up to logarithmic terms, those of best $N$-term approximations of solutions of the corresponding elliptic problems.

研究动机与目标

• 开发一种针对线性抛物型初边值问题的稳定、压缩时空伽辽金半离散化方法。
• 克服先前方法对空间或时间Riesz基在负阶Sobolev空间中稳定性的要求。
• 为时空自适应压缩伽辽金逼近建立最优收敛速率，与对应椭圆问题的最佳N项逼近速率相匹配。
• 在稀疏张量积半离散化中证明条件数在所有离散化层级上一致有界，且不依赖于V*中空间Riesz基的稳定性。
• 展示自适应小波求解器对所得大型非对称线性系统的s*-可计算性与最优性。

提出的方法

• 基于时间轴上的双无限时间轴上阶数为1/2的分数阶微积分，提出一种基于变分法的时空半离散化方法。
• 利用Bochner空间与插值理论，定义介于经典公式之间的解空间，确保适定性与唯一解。
• 采用空间与时间的多级小波分解的稀疏张量积空间，构造压缩伽辽金半离散化。
• 在Petrov-Galerkin公式中，利用H^{1/2}空间中时间与空间变量的Riesz基，建立离散inf-sup条件。
• 应用文献[6]中的自适应小波技术，以最优复杂度求解所得的双无限矩阵问题，利用“通过自适应实现稳定性”的思想。
• 在小波基的温和假设下，证明系统矩阵及其分量（分数阶时间导数的质量矩阵与刚度矩阵）的s*-可计算性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可通过时间与空间均采用相等阶数的Sobolev空间的对称时空变分公式，实现对抛物型PDEs的稳定且最优的伽辽金半离散化，而无需Riesz基在负阶Sobolev空间中的稳定性？
• RQ2 压缩时空伽辽金半离散化的收敛速率与对应椭圆问题的最佳N项逼近速率相比如何？
• RQ3 在稀疏张量积空间中，所得大型非对称线性系统的条件数是否在所有离散化层级上保持一致有界？
• RQ4 如何利用自适应小波方法高效且稳定地计算系统矩阵及其分量？
• RQ5 使用自适应小波求解器求解离散问题的计算复杂度是多少？是否对光滑解实现了最优收敛？

主要发现

• 所提出的时空变分公式在介于经典公式之间的Bochner空间中存在唯一解，确保了适定性。
• 在稀疏张量积伽辽金半离散化中，离散inf-sup条件成立，保证了稳定性，且无需V*中Riesz基的稳定性。
• 压缩伽辽金半离散化的收敛速率与对应椭圆问题的最佳N项逼近速率一致，最多含对数项。
• 所得大型非对称线性系统的条件数在所有离散化层级上一致有界。
• 自适应小波求解器实现了最优复杂度：操作数与存储量随给定容差ε按O(ε^(-1/s))增长，隐含常数仅依赖于空间小波基的Riesz常数与容许性常数。
• 在小波基的温和假设下，系统矩阵及其分量（分数阶时间导数的质量矩阵与刚度矩阵）具有s*-可计算性，从而可通过自适应算法实现高效求解。