[论文解读] Comptage des systèmes locaux $\ell$-adiques sur une courbe

Hongjie Yu|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文建立了有限域上光滑射影几何连通曲线的固定秩不可约ℓ进局部系统计数的Lefschetz型不动点公式，推广了Drinfeld的秩2结果，并证明了Deligne的猜想。通过Langlands对应、Arthur迹公式以及与稳定Higgs丛模空间Fq-有理点数的联系，作者推导出一个涉及Weil数和重数因子的显式公式，其形式与有限域上代数簇的点计数完全一致。

ABSTRACT

Let $X_{1}$ be a projective, smooth and geometrically connected curve over $\mathbb{F}_{q}$ with $q=p^{n}$ elements where $p$ is a prime number, and let $X$ be its base change to an algebraic closure of $\mathbb{F}_{q}$. We give a formula for the number of irreducible $\ell$-adic local systems ($\ell eq p$) with a fixed rank over $X$ fixed by the Frobenius endomorphism. We prove that this number behaves like a Lefschetz fixed point formula for a variety over $\mathbb{F}_q$, which generalises a result of Drinfeld in rank $2$ and proves a conjecture of Deligne. To do this, we pass to the automorphic side by Langlands correspondence, then use Arthur's non-invariant trace formula and link this number to the number of $\mathbb{F}_q$-points of the moduli space of stable Higgs bundles.

研究动机与目标

• 将Drinfeld对Fq上曲线的不可约ℓ进局部系统中Frobenius不动点的计数结果从秩2推广至任意秩。
• 证明Deligne的猜想：此类局部系统的数量表现得如同有限域上某代数簇的Lefschetz不动点公式。
• 为Fq上曲线的固定秩Frobenius不变不可约ℓ进局部系统数量建立精确公式。
• 通过Langlands对应，将局部系统计数与稳定Higgs丛模空间的Fq-有理点数联系起来。
• 利用非不变的Arthur迹公式分析迹公式的谱项与几何项，从而导出最终公式。

提出的方法

• 应用Langlands对应，将计数ℓ进局部系统的问题转化为自守侧问题。
• 使用非不变的Arthur迹公式，关联迹公式的几何侧与谱侧。
• 将Frobenius不动局部系统的数量与稳定Higgs丛模空间的Fq-有理点数联系起来。
• 通过(G,M)-族与Eisenstein级数贡献，分析迹公式的谱侧。
• 通过阿代尔群上的积分计算几何侧，并将其与不可约向量丛及Higgs丛关联。
• 利用图论技巧与通用多项式，处理迹公式项的组合结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Fq上曲线的固定秩Frobenius不动不可约ℓ进局部系统数量是否满足类似于有限域上代数簇点计数的Lefschetz型不动点公式？
• RQ2 能否通过Langlands对应与迹公式技术，将Drinfeld的秩2结果推广至任意秩？
• RQ3 是否存在一个精确公式，使得此类局部系统的数量恰好等于稳定Higgs丛模空间在秩n、度0时的Fq-有理点数？
• RQ4 Arthur迹公式的谱侧与几何侧如何共同贡献于局部系统的最终计数？
• RQ5 Weil数与重数因子在最终公式中起什么作用？它们如何反映模空间的上同调结构？

主要发现

• Fq上曲线X的秩n的Frobenius不动不可约ℓ进局部系统数量由形如∑ mi αik的公式给出，其中αi为权重严格小于2g−1的Weil数，mi为有理整数。
• 该公式在形式上完全等价于有限域上代数簇的Lefschetz不动点公式，从而推广了Drinfeld在秩2时的结果。
• 此类局部系统的数量等于秩n、度0的稳定Higgs丛模空间的Fq-有理点数。
• Arthur迹公式的谱侧贡献了通过(G,M)-族与图论分解计算的Eisenstein级数与余项。
• 几何侧通过与不可约向量丛相关联的积分进行分析，并通过Hitchin纤维化与Higgs丛建立联系。
• 最终公式与ℓ无关，且为关于亏格g与秩n的通用多项式，其系数属于Z。