[论文解读] Computability and the growth rate of symplectic homology

Mark McLean|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文证明，对于某些显式构造的 Stein 流形（微分同胚于维度 $ n \geq 8 $ 的复仿射空间），不存在算法可判断它们之间是否为辛同胚，方法是将辛同调增长速率与群论中的不可判定性联系起来。关键结果是：在 $ \mathbb{R}^{2n} $ 上的辛结构以及在 $ S^{2n-1} $ 上的接触结构存在不可判定性，其根源来自群论中的字问题。

ABSTRACT

For each n greater than 7 we explicitly construct a sequence of Stein manifolds diffeomorphic to complex affine space of dimension n so that there is no algorithm to tell us in general whether a given such Stein manifold is symplectomorphic to the first one or not. We prove a similar undecidability result for contact structures on the 2n - 1 dimensional sphere. We can generalize these results by replacing com- plex affine space with any smooth affine variety of dimension n and the 2n - 1 dimensional sphere with any smooth affine variety intersected with a sufficiently large sphere. We prove these theorems by using an invariant called the growth rate of symplectic homology to reduce these problems to an undecidability result for groups.

研究动机与目标

• 建立显式构造的 Stein 流形的存在性，这些流形微分同胚于 $ \mathbb{C}^n $ 且 $ n \geq 8 $，其辛结构无法通过算法加以区分。
• 通过辛完备化和 Lefschetz 纤维丛，将此不可判定性推广至 $ S^{2n-1} $ 上的接触结构。
• 表明辛同调的增长速率是一种可计算不变量，可将辛分类问题约化为不可判定的群论问题。
• 证明不存在算法可判断此类流形之间的辛等价性，即使它们微分同胚，方法是将字问题编码进辛拓扑。
• 将构造推广至任意维度 $ n \geq 8 $ 的光滑仿射代数簇，及其在大球面上的边界接触结构。

提出的方法

• 通过将有限型 Stein 流形显式构造为标准 $ 2n $-维球体上的 Weinstein 手柄附加，以群表示作为输入。
• 利用辛同调的增长速率作为不变量，检测非辛同胚性，借助其代数与拓扑性质。
• 通过将群表示编码进手柄附加，将辛分类问题约化为群论中字问题的不可判定性。
• 使用 Lefschetz 纤维丛及部分 Lefschetz 纤维丛来控制辛同调增长并建立上界。
• 应用全纯曲线在辛余 bordism 中的最大值原理，以排除映射环面中非平凡的伪全纯曲线。
• 利用精确辛同胚与柱状端结构，以在形变下保持辛同调不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在算法可判断两个显式构造的 Stein 流形（均微分同胚于 $ \mathbb{R}^{2n} $）是否为辛同胚？
• RQ2 当 $ n \geq 8 $ 时，给定显式构造，一个 Stein 流形的辛结构是否由其微分同胚类型唯一确定？
• RQ3 能否通过手柄附加将群论中的字问题编码进 Stein 流形的辛不变量中？
• RQ4 辛同调增长速率在高维 Stein 流形中检测辛非等价性的角色是什么？
• RQ5 当底层 Stein 填充微分同胚于 $ \mathbb{R}^{2n} $ 时，是否存在关于球面 $ S^{2n-1} $ 上接触结构的不可判定性结果？

主要发现

• 对每个具有 $ n \geq 8 $ 的群表示 $ P $，存在一个有限型 Stein 流形 $ S_P $，其显式地由 $ \mathbb{C}^n $ 和 Weinstein 手柄构建，使得 $ S_P \simeq S_{\langle|\rangle} $ 当且仅当 $ G_P $ 是平凡群。
• 辛同调的增长速率被用于区分 $ S_P $ 与 $ S_{\langle|\rangle} $，且该不变量在构造中是可计算的。
• 不存在算法可判断此类 $ S_P $ 之间的辛等价性，因为解决此问题将等价于解决群论中的字问题。
• 相同的不可判定性结果也适用于由相同 Stein 流形边界构造的 $ S^{2n-1} $ 上的接触结构。
• 该构造可推广至 $ \mathbb{C}^n $ 之外：对任意维度 $ n \geq 8 $ 的光滑仿射代数簇 $ V $，关于 $ V $-基 Stein 流形及其边界接触结构，类似的不可判定性依然成立。
• 辛同调增长速率在辛同胚下保持不变，且对基本群敏感，后者通过手柄附加被编码其中。