[论文解读] Computable copies of $\ell^p$

Timothy H. McNicholl|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文证明了，对于任意可计算的 $ p \geq 1 $，停机集能够计算任意两个 $ \ell^p $ 的可计算拷贝之间的满射线性等距同构，且当 $ p \neq 2 $ 时该界是最优的。论文证明了 $ \ell^p $ 是 $ \Delta_2^0 $-范畴的，但仅当 $ p = 2 $ 时才是可计算范畴的，从而解决了 Melnikov（2013）提出的问题，并表明存在一个可计算范畴的巴拿赫空间，但它不是希尔伯特空间。

ABSTRACT

\begin{abstract} Suppose $p$ is a computable real so that $p \geq 1$. It is shown that the halting set can compute a surjective linear isometry between any two computable copies of $\ell^p$. It is also shown that this result is optimal in that when $p eq 2$ there are two computable copies of $\ell^p$ with the property that any oracle that computes a linear isometry of one onto the other must also compute the halting set. Thus, $\ell^p$ is $Δ_2^0$-categorical and is computably categorical if and only if $p = 2$. It is also shown that there is a computably categorical Banach space that is not a Hilbert space and that $\ell^p$ is linearly isometric to a computable Banach space if and only if $p$ is computable. These results hold in both the real and complex case.

研究动机与目标

• 确定在可计算 $ p \geq 1 $ 的情况下，计算两个 $ \ell^p $ 可计算拷贝之间线性等距同构的计算复杂度。
• 研究 $ \ell^p $ 是否是可计算范畴的，尤其区分 $ p = 2 $ 与 $ p \neq 2 $ 的情况。
• 解决 Melnikov（2013）关于 $ \ell^p $ 的可计算范畴性提出的问题。
• 证明存在一个可计算范畴的巴拿赫空间，但它不是希尔伯特空间。
• 将结果从实数情形推广到复数情形，表明两种情形下范畴性行为完全相同。

提出的方法

• 利用 J. Lamperti 提供的加强不等式，以界定经典情形下等距同构的复杂度。
• 使用 Banach 和 Lamperti 对 $ L^p $ 空间线性等距同构的刻画，分析 $ \ell^p $ 上等距同构的结构。
• 构造两个 $ p \neq 2 $ 的 $ \ell^p $ 的可计算拷贝，使得任何能计算它们之间满射线性等距同构的预言机也必须能计算停机集。
• 使用有效生成集 $ F $ 和标准基 $ E $，在可计算世界中模拟向量和等距同构的预言机计算。
• 通过逼近论证和范数估计，证明停机集能计算任意两个 $ \ell^p $ 可计算拷贝之间的满射线性等距同构。
• 证明 $ C $（停机集）能计算 $ e_0 $，从而计算出整个标准基，使得恒等映射和因此任意等距同构均可被计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可计算的 $ p \geq 1 $，计算两个 $ \ell^p $ 可计算拷贝之间满射线性等距同构的精确计算复杂度是什么？
• RQ2 当 $ p \neq 2 $ 时，$ \ell^p $ 是否是可计算范畴的，还是其复杂度严格高于可计算？
• RQ3 是否存在一个可计算范畴的巴拿赫空间，但它不是希尔伯特空间？
• RQ4 当 $ p \neq 2 $ 时，停机集所提供的等距同构计算界是否最优？
• RQ5 该结果能否从实数情形推广到 $ \ell^p $ 的复数情形？

主要发现

• 停机集能计算任意两个可计算的 $ \ell^p $ 拷贝之间的满射线性等距同构（$ p \geq 1 $ 可计算），从而确立了 $ \Delta_2^0 $-范畴性。
• 当 $ p \neq 2 $ 时，任何弱于停机集的预言机都无法计算某些 $ \ell^p $ 可计算拷贝之间的满射线性等距同构，从而证明了该界是最优的。
• $ \ell^p $ 是可计算范畴的当且仅当 $ p = 2 $，解决了 Melnikov（2013）提出的问题。
• 存在一个可计算范畴的巴拿赫空间，但它不是希尔伯特空间，具体为当 $ p \neq 2 $ 且有限 $ n \geq 1 $ 时的 $ \ell^p_n $，它不是希尔伯特空间但却是可计算范畴的。
• 结果在实数和复数情形下均成立，两种情形下的范畴性行为完全相同。
• 证明依赖于 Lamperti 不等式的加强版本，以及 Banach 和 Lamperti 对 $ L^p $ 等距同构的刻画。