[论文解读] Computable Følner monotilings and a theorem of Brudno I

Nikita Moriakov|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过引入可计算的 Følner 单体铺砌（computable Følner monotilings）—— Weiss 的 Følner 单体铺砌的构造性、算法化版本——将 Brudno 定理中关于拓扑熵与柯尔莫哥洛夫复杂度的联系扩展至可计算阿贝尔群上的子移位（subshifts）。该文证明，对于此类群（包括 ℤᵈ 和 UT_d(ℤ)），子移位的拓扑熵等于其词预层（word presheaf）的渐近柯尔莫哥洛夫复杂度，从而将 Brudno 的原始结果推广至具有有效结构的广泛群类。

ABSTRACT

The purpose of this article is to extend the earliest results of A.A. Brudno, connecting topological entropy of a subshift X over $\mathbb{N}$ to the Kolmogorov complexity of words in X, to subshifts over computable groups that posses computable Følner monotilings, which we introduce in this work. The classical examples of such groups are the groups $\mathbb{Z}^d$ and the groups of upper-triangular matrices with integer entries. Following the work of B. Weiss we show that the class of such groups is closed under group extensions.

研究动机与目标

• 将 A.A. Brudno 关于 ℕ 上拓扑熵与柯尔莫哥洛夫复杂度关联的结果，推广至可计算阿贝尔群上的子移位。
• 引入并形式化可计算 Følner 单体铺砌的概念，作为 Weiss 的 Følner 单体铺砌的可计算、算法化对应物。
• 证明可计算群中存在可计算 Følner 单体铺砌的类在可计算群扩张下是封闭的。
• 证明对于具有可计算正规 Følner 单体铺砌的可计算群上的子移位，其拓扑熵等于相关词预层的渐近柯尔莫哥洛夫复杂度。
• 在关键示例（包括 ℤᵈ 和 UT_d(ℤ)）中提供可计算 Følner 单体铺砌的显式算法，证明其可构造性。

提出的方法

• 引入可计算空间、它们之间的态射，以及词预层，以形式化群上子移位的结构。
• 定义词预层截面的柯尔莫哥洛夫复杂度，并引入渐近柯尔莫哥洛夫复杂度作为关键度量。
• 提出可计算 Følner 单体铺砌的概念，即使用 Følner 集进行可计算、正规且有效的群铺砌。
• 构造一个解压算法，通过在内部集上使用字典编码，在边界集上使用余数编码，对群标记的词进行编码。
• 利用 Følner 序列控制边界元素的比例，确保编码词的复杂度趋近于熵率。
• 将解压算法应用于证明归一化柯尔莫哥洛夫复杂度的上极限被熵所界定，从而在极限下达到相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 Brudno 的熵-复杂度等价性是否可从 ℕ 推广至更一般的阿贝尔群（如 ℤᵈ 和幂零群）上的子移位？
• RQ2 在高维或非阿贝尔群作用下，需要何种有效、算法化的结构，以确保柯尔莫哥洛夫复杂度与拓扑熵保持渐近等价？
• RQ3 如何使 Følner 单体铺砌的概念可计算化，同时保留熵-复杂度对偶性所必需的关键性质？
• RQ4 对于重要群类（如 UT_d(ℤ)），可计算 Følner 单体铺砌是否存在？能否显式构造？
• RQ5 可计算群中存在可计算 Følner 单体铺砌的类在可计算群扩张下是否封闭？

主要发现

• 对于具有可计算正规 Følner 单体铺砌的可计算群上的子移位，其拓扑熵等于其相关词预层的渐近柯尔莫哥洛夫复杂度。
• 对每个 d ∈ ℕ，群 ℤᵈ 均存在可计算 Følner 单体铺砌，且其算法可显式构造。
• 上三角整数矩阵群 UT_d(ℤ) 同样存在可计算 Følner 单体铺砌，将结果扩展至非阿贝尔幂零群。
• 可计算群中存在可计算 Følner 单体铺砌的类在可计算群扩张下是封闭的，确保其广泛应用性。
• 证明表明，归一化柯尔莫哥洛夫复杂度的上极限被任意 ε > 0 和随 |F_k| → ∞ 而趋于零的项所界定，从而在极限下达到相等。
• Følner 单体铺砌中的正规性要求并非限制性条件，因为每个可计算 Følner 单体铺砌均可转化为可计算正规版本。