[论文解读] Computable Randomness is Inherently Imprecise

Gert de Cooman, Jasper De Bock|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于区间预测而非精确概率的可计算随机性博弈论框架，表明随机性本质上具有不精确性。证明了每个无限二进制序列都相对于一组区间预测的滤子具有可计算随机性，且该滤子可能不包含最小区间——表明随机性无法始终通过精确模型无损地捕捉。

ABSTRACT

We use the martingale-theoretic approach of game-theoretic probability to incorporate imprecision into the study of randomness. In particular, we define a notion of computable randomness associated with interval, rather than precise, forecasting systems, and study its properties. The richer mathematical structure that thus arises lets us better understand and place existing results for the precise limit. When we focus on constant interval forecasts, we find that every infinite sequence of zeroes and ones has an associated filter of intervals with respect to which it is computably random. It may happen that none of these intervals is precise, which justifies the title of this paper. We illustrate this by showing that computable randomness associated with non-stationary precise forecasting systems can be captured by a stationary interval forecast, which must then be less precise: a gain in model simplicity is thus paid for by a loss in precision.

研究动机与目标

• 将可计算随机性的概念扩展到使用区间概率的不精确预测系统。
• 研究可计算随机性是否可以在不依赖精确概率预测的前提下进行定义。
• 理解当预测为区间而非点值时，随机性的数学结构。
• 探讨预测系统中模型简洁性（平稳性）与精确性之间的权衡。
• 证明某些序列在任何精确平稳预测下均无法具有可计算随机性，但在区间预测下却具有可计算随机性。

提出的方法

• 使用博弈论概率框架，将预测建模为买卖投机品价格的区间边界。
• 为区间预测定义一个上鞅乘数，使得在区间预测下乘数的期望值不会增加。
• 施加可计算性约束，以确保所有过程（预测、乘数）均可有效计算。
• 构建特定的可计算上鞅乘数，以测试在区间预测下的随机性，包括非平稳和平稳情形。
• 采用滤子方法，识别所有使得给定序列具有可计算随机性的区间预测。
• 使用反证法证明，即使精确预测不成立，某些区间预测也必须属于随机性滤子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当预测为区间而非精确概率时，可计算随机性是否仍可有意义地定义？
• RQ2 是否总存在一组区间预测，使得给定的无限二进制序列具有可计算随机性？
• RQ3 平稳区间预测能否捕捉那些在任何精确平稳预测下均不具可计算随机性的序列的随机性？
• RQ4 使得序列具有可计算随机性的区间预测滤子是否可能不包含最小元素？
• RQ5 此类滤子中的最小区间是否可能为非退化的（即非单一点），从而表明随机性具有固有的不精确性？

主要发现

• 每个无限二进制序列都存在一个非空的区间预测滤子，使得其在该滤子下具有可计算随机性。
• 存在一些序列，在任何精确平稳预测系统下均不具可计算随机性，但在平稳区间预测下却具有可计算随机性。
• 使得序列具有可计算随机性的区间预测滤子可能不包含最小元素，表明随机性本质上具有不精确性。
• 即使滤子中存在最小区间，该区间也可能为非退化（即长度为正），证实随机性无法总是被精确捕捉。
• 对于非平稳精确预测的可计算上鞅乘数，可由一个平稳区间预测的可计算上鞅乘数模拟，但后者必然精度较低。
• 证明表明，若一个序列在对称区间预测 $[1/2 - \rho, 1/2 + \rho]$ 下不具可计算随机性，将与已知的在精确 $1/2$ 预测下的可计算随机性产生矛盾。