[论文解读] Computable Stochastic Processes

Pieter Collins|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文利用类型二效应性（type-two effectivity）和可计算类型，构建了一个可计算的概率、随机变量与随机过程理论，实现了具有利普希茨系数的随机微分方程（SDE）解的有效计算。通过将随机变量建模为连续函数的极限，并在可计算框架中使用压缩映射，证明了SDE的解作为连续时间中的随机过程是有效可计算的。

ABSTRACT

The aim of this paper is to present an elementary computable theory of probability, random variables and stochastic processes. The probability theory is baed on existing approaches using valuations and lower integrals. Various approaches to random variables are discussed, including the approach based on completions in a Polish space. We apply the theory to the study of stochastic dynamical systems in discrete-time, and give a brief exposition of the Wiener process as a foundation for stochastic differential equations. The theory is based within the framework of type-two effectivity, so has an explicit direct link with Turing computation, and is expressed in a system of computable types and operations, so has a clean mathematical description.

研究动机与目标

• 建立一个适用于严格数值分析的基础性、可计算的概率与随机过程理论。
• 通过用连续函数的拓扑构造与完备化替代经典的σ代数，克服其计算能力差的问题。
• 开发一个随机变量与随机过程可有效计算的框架，尤其针对SDE。
• 证明具有利普希茨漂移与扩散系数的随机微分方程的解作为连续时间中的随机过程是可计算的。

提出的方法

• 理论构建在类型二效应性（TTE）框架内，将数学对象表示为图灵机处理的无限序列。
• 概率测度通过泛函与下积分表示，积分定义在正的下连续函数及有界连续函数上。
• 随机变量被定义为几乎处处定义的连续部分函数的极限，构成波兰空间中连续函数的完备化。
• 随机过程被建模为连续路径空间中的随机元素，使用如 $ d_{2,rown} $ 这类范数来度量路径上的 $ L^2 $-距离。
• 证明SDE的皮卡迭代在 $ d_{2,rown} $ 范数下是压缩映射，从而在小时间区间内确保有效收敛。
• 通过在小时间区间上递归构造解并将其连接，实现全局可计算性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种可计算的概率理论，避免σ代数的非可计算结构，同时保留经典概率推理？
• RQ2 如何使用构造性方法有效表示并计算连续域上的随机变量？
• RQ3 随机微分方程的解能否作为连续时间中的随机过程被有效计算？
• RQ4 在可计算框架中，SDE的皮卡迭代有效收敛的条件是什么？
• RQ5 该框架中维纳过程本身是否可有效计算，从而为SDE解的构造提供基础？

主要发现

• 具有利普希茨漂移与扩散系数的随机微分方程的解是可计算的，其取值为连续路径空间 $ C([0,rown); ^d) $ 中的随机变量。
• 当时间区间 $ T $ 足够小时，SDE的皮卡算子在 $ d_{2,rown} $-范数下是压缩映射，具体条件为 $ T < \min(1/2K, 1/16L^2) $，其中 $ K $ 和 $ L $ 为利普希茨常数。
• 连续随机过程的非随机积分 $ \int_0^t X(s)\,ds $ 是可计算的，满足 $ d_{2,rown}(\int Y dt, \int Z dt) \leq T d_{2,rown}(Y,Z) $。
• 随机积分 $ \int_0^t g(Y(s))\,dW(s) $ 是可计算的，满足 $ d_{2,rown}(\int g(Y) dW, \int g(Z) dW) \leq 2\sqrt{T} d_{2,rown}(Y,Z) $。
• 维纳过程被有效构造，其样本路径是可计算的，为SDE计算提供了基础。
• 对于初始条件在 $ \mathbb{R} $ 中的情况，解算子 $ \mathbb{R} \to R(C([0,T];\mathbb{R})) $ 是可计算的，并可通过定理69推广至随机初始条件。