[论文解读] Computads and Multitopic Sets

Victor Harnik, Michael Makkai+1 more|ArXiv.org|Nov 20, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文建立了多主题集与单对多计算图之间的范畴等价性，证明了基于迭代自由多范畴的多主题集为弱ω-范畴提供了一个预层模型。关键结果是：单对多计算图的范畴等价于一个预层范畴，解决了高阶范畴理论中的一个基础性问题，并意味着该类计算图的词问题可通过原始递归算法求解。

ABSTRACT

We compare computads with multitopic sets. Both these kinds of structures have n-dimensional objects (called n-cells and n-pasting diagrams, respectively). The computads form a subclass of the more familiar class of omega-categories, while multitopic sets have been devised by Hermida, Makkai and Power as a vehicle for a definition of the concepts of weak omega-category. Our main result states that the category of multitopic sets is equivalent to that of many-to-one computads, a certain full subcategory of the category of all computads.

研究动机与目标

• 建立多主题集与计算图全子范畴之间的范畴等价性。
• 阐明用于生成高维范畴结构的两种不同形式化方法——计算图与多主题集之间的关系。
• 证明单对多计算图的范畴是一个预层范畴，与全计算图范畴非预层性质形成对比。
• 为单对多计算图的词问题提供构造性基础，意味着可通过原始递归算法实现可判定性。

提出的方法

• 通过项的形式语言和用于证明项等式的演绎系统，构建(n−1)-范畴的自由扩张。
• 通过迭代自由多范畴定义多主题集，其中粘贴图作为n-胞腔，不定元生成高维胞腔。
• 利用一个技术性结果（命题6.12）证明：从不定元集上自由生成的多范畴到多主题集的典范态射是一个同构。
• 通过各维度上的域与余域函数，建立多主题集与单对多计算图之间的归纳同构。
• 证明将不定元分配给胞腔的赋值诱导出一个保持复合与结构的多范畴态射。
• 借助等价性推导出单对多计算图的范畴是预层范畴，利用多主题集已被证明为预层这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在多主题集与计算图自然子类之间的范畴等价性？
• RQ2 在全计算图范畴并非预层范畴的前提下，能否证明单对多计算图的范畴是预层范畴？
• RQ3 多主题集与单对多计算图之间的等价性是否意味着此类计算图的词问题具有可判定性？
• RQ4 相较于经典计算图，多主题集捕捉了高阶范畴中自由扩张的哪些结构性质？
• RQ5 能否证明从不定元集上自由生成的多范畴到多主题集结构的典范态射为同构？

主要发现

• 单对多计算图的范畴与多主题集的范畴等价，建立了两种弱ω-范畴形式化之间的基础性联系。
• 多主题集的范畴是预层范畴（如既往所建立），且该性质被单对多计算图的子范畴继承。
• 所有计算图的范畴并非预层范畴，凸显了单对多限制的重要性。
• 作为命题6.12中同构的推论，单对多计算图的词问题可通过原始递归算法求解。
• 从不定元集上自由生成的多范畴到多主题集的典范态射是同构，这是实现主等价性的关键技术结果。
• 该等价性保持了各维度上的域与余域函数，确保了两种形式化之间的结构一致性。