[论文解读] Computation of 2D Fourier transforms and diffraction integrals using Gaussian radial basis functions

Ramos López, Darío|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advancements in Photolithography Techniques参考文献 55被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过使用高斯径向基函数（GRBFs）近似光瞳函数，以高效计算二维傅里叶变换和衍射积分。通过将被积函数表示为GRBFs的线性组合，该方法能够在多个离焦参数下快速、高精度地评估共焦点扩散函数，其速度和精度均优于扩展的Nijboer-Zernike理论和标准FFT。

ABSTRACT

We implement an efficient method of computation of two dimensional Fourier-type integrals based on approximation of the integrand by Gaussian radial basis functions, which constitute a standard tool in approximation theory. As a result, we obtain a rapidly converging series expansion for the integrals, allowing for their accurate calculation. We apply this idea to the evaluation of diffraction integrals, used for the computation of the through-focus characteristics of an optical system. We implement this method and compare it performance in terms of complexity, accuracy and execution time with several alternative approaches, especially with the extended Nijboer-Zernike theory, which is also outlined in the text for the reader’s convenience. The proposed method yields a reliable and fast scheme for simultaneous evaluation of such kind of integrals for several values of the defocus parameter, as required in the characterization of the through-focus optics. Keywords: 2D Fourier transform, Diffraction integrals, Radial Basis Functions, Extended Nijboer–Zernike theory, Through-focus characteristics of an optical system.

研究动机与目标

• 解决光学系统建模中评估二维傅里叶型积分的计算挑战，特别是针对共焦特性。
• 克服传统数值积分和扩展Nijboer-Zernike（ENZ）理论的局限性，尤其是在处理高数值孔径和复杂光瞳函数时。
• 开发一种鲁棒、快速且精确的方法，同时计算多个离焦参数下的衍射积分。
• 提供一种灵活的多分辨率框架，利用可调形状参数的GRBFs近似复杂波前。
• 实现点扩散函数（PSFs）的高精度计算，这对于眼科、显微镜和数字全息术等应用至关重要。

提出的方法

• 在衍射积分中使用高斯径向基函数（GRBFs）的线性组合来近似光瞳函数，GRBFs具有径向对称性和局域性。
• 采用带Tikhonov正则化的最小二乘拟合方法，确定GRBF展开的最优系数，以确保稳定性和高精度。
• 通过利用GRBFs的解析性质和贝塞尔函数恒等式，将原始的二维傅里叶积分转化为收敛速度极快的级数形式。
• 利用第一类贝塞尔函数的已知恒等式，推导出结果积分的闭式表达式。
• 实现一种高效算法，通过在多个离焦值之间重用GRBF展开系数，最大限度减少重复计算。
• 应用Sobolev型范数评估近似质量，确保对影响积分精度的振荡现象具有敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 高斯径向基函数能否作为标准FFT和扩展Nijboer-Zernike方法在光学系统中计算二维傅里叶变换的更准确、更高效替代方案？
• RQ2 在评估不同离焦参数下的共焦点扩散函数时，GRBF方法在精度和计算成本方面表现如何？
• RQ3 GRBF中的形状参数在近似复杂波前时，能在多大程度上提升适应性和分辨率？
• RQ4 该方法是否能够高效并行化或在多个离焦值之间复用，而无需显著重新计算？
• RQ5 GRBF方法在处理非对称或高数值孔径光学系统时，与ENZ理论相比表现如何？

主要发现

• 在相同计算成本下，GRBF方法的精度高于扩展Nijboer-Zernike（ENZ）理论和标准二维FFT。
• 该方法可在初始计算后几乎瞬时评估多个离焦参数下的共焦PSF，额外成本可忽略不计。
• 采用Tikhonov正则化最小二乘拟合的GRBF方法，即使在噪声或复杂波前情况下，也能实现稳定且高度精确的近似。
• 由于高斯函数的局域特性，GRBF方法对光瞳几何形状变化具有鲁棒性，尤其在较高形状参数下表现更优。
• 通过添加具有不同中心和形状参数的GRBF层，该方法支持多分辨率细化，以减少残差误差。
• 对于含噪声的合成波前，GRBF方法生成的PSF轮廓与参考（数值积分）解高度一致，在所有离焦值下均优于ENZ和FFT方法的保真度。