[论文解读] Computation of graphical derivatives of normal cone maps to conic constraints without nondegeneracy and PDC

Yulan Liu, Ying Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 1

一句话总结

本文在不依赖非退化性或投影导出条件（PDC）的前提下，对 $C^2$-锥可约的锥约束下的正规映射的图形导数给出了精确刻画，从而实现了对含此类约束的广义方程解映射孤立鲁棒性的改进分析。

ABSTRACT

This paper concerns with the graphical derivative of the regular and limiting normals to the conic constraint $g(x)\in\!K$, where $g\!:\mathbb{X} o\mathbb{Y}$ is a continuously differ entiable mapping and $K\subseteq\mathbb{Y}$ is a nonempty closed convex set assumed to be $C^2$-cone reducible. Such a generalized derivative plays a crucial role in characterizing isolated calmness of the solution maps to generalized equations whose multivalued parts are modeled via the regular or limiting normal to the set $\Gamma=g^{-1}(K)$. The main contribution of this paper is to provide an exact characterization for the graphical derivative of the regular and limiting normals to this class of nonconvex conic constraints,under an assumption without requiring the nondegeneracy of the reference point and the projection derivation condition (PDC) as the papers \cite{Mordu15,Mordu151} do.

研究动机与目标

• 对由 $g(x) \in K$ 定义的、$g$ 为 $C^1$ 且 $K$ 为 $C^2$-锥可约的锥约束下的正规映射与极限正规映射的图形导数进行刻画。
• 消除对非退化性与投影导出条件（PDC）的依赖，而这些条件在以往的工作（如 Mordukhovich (2015, 20151)）中是必需的。
• 实现对含多值正规映射分量的广义方程解映射中孤立鲁棒性的更强分析。
• 将广义导数理论的适用范围扩展到更广泛的非凸锥约束类别。

提出的方法

• 利用集合 $K \subseteq \mathbb{Y}$ 的 $C^2$-锥可约性，分析正规锥映射的结构。
• 应用变分分析与广义微分的工具，计算正规与极限正规映射的图形导数。
• 在最小约束规范条件下，推导出图形导数的精确表达式，避免了对非退化性与PDC的假设。
• 利用极限正规锥与正规正规锥刻画解映射的方向行为。
• 在缺乏标准约束规范条件下，依赖复合法则与集值映射的敏感性分析。
• 在新假设下，建立图形导数与正规映射的共导数之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设非退化性的情况下，如何刻画 $C^2$-锥可约锥约束下正规与极限正规映射的图形导数？
• RQ2 当投影导出条件（PDC）不成立时，哪些条件足以计算正规映射的图形导数？
• RQ3 在弱于非退化性的假设下，能否利用图形导数刻画含广义方程的解映射的孤立鲁棒性？
• RQ4 通过 $C^2$-锥可约性，非凸锥约束的图形导数的精确结构是什么？
• RQ5 非退化性的缺失如何影响广义方程中正规映射的敏感性分析？

主要发现

• 本文对 $C^2$-锥可约锥约束下的正规与极限正规映射的图形导数提供了精确刻画。
• 该刻画无需依赖非退化性条件或投影导出条件（PDC），而这些条件在以往类似分析中是必需的。
• 该结果使得对含正规映射的广义方程解映射中孤立鲁棒性的分析更具普遍性。
• 由于 $C^2$-锥可约性假设，所推导的图形导数表达式适用于广泛的非凸锥约束类别。
• 该方法将广义导数理论的适用范围扩展到标准约束规范失效的情形。
• 该方法为在经典假设范围之外的复杂锥约束优化问题的敏感性分析奠定了基础。