[论文解读] Computation of Hadwiger Number and Related Contraction Problems: Tight Lower Bounds

Fedor V. Fomin, Daniel Lokshtanov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文建立了计算 n 个顶点图的 Hadwiger 数（即最大团小图的大小）的紧致下界，证明除非指数时间假设（ETH）不成立，否则任何算法都无法在 $ n^{o(n)} $ 时间内计算该值。作者通过从匹配中的一个难题进行归约，并将该技术扩展至排除一大类边收缩问题的高效算法，包括弦图、区间图和完美图等问题。

ABSTRACT

We prove that the Hadwiger number of an $n$-vertex graph $G$ (the maximum size of a clique minor in $G$) cannot be computed in time $n^{o(n)}$, unless the Exponential Time Hypothesis (ETH) fails. This resolves a well-known open question in the area of exact exponential algorithms. The technique developed for resolving the Hadwiger number problem has a wider applicability. We use it to rule out the existence of $n^{o(n)}$-time algorithms (up to ETH) for a large class of computational problems concerning edge contractions in graphs.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：n 个顶点图的 Hadwiger 数是否可以在单指数时间 $ 2^{O(n)} $ 内计算。
• 为团小图计算及相关边收缩问题的计算复杂性建立紧致下界。
• 开发一种适用于广泛图收缩问题的通用技术，超越 Hadwiger 数的范畴。
• 证明若这些问题是 $ n^{o(n)} $ 时间可解，则将与指数时间假设（ETH）矛盾。

提出的方法

• 从交叉匹配问题归约至结构化团收缩问题，建立后者在 ETH 下的难解性。
• 通过将输入图 $ G $ 与一个含 $ 4n $ 个顶点的团 $ K $ 结合，并在 $ A $ 与 $ C $、$ B $ 与 $ D $ 之间添加边，构造图 $ H $，以编码匹配约束。
• 利用边收缩模拟 $ G $ 中的完美匹配，确保最终图是团当且仅当存在完美匹配。
• 利用图 $ G $ 中任意大小为 $ h $ 的团小图对应于 $ |V(G)| - h $ 次边收缩的事实，将 Hadwiger 数问题归约为团收缩问题。
• 证明任何在 $ n^{o(n)} $ 时间内解决团收缩问题的算法，都将意味着存在一个 $ n^{o(n)} $ 时间解决交叉匹配问题的算法，从而与 ETH 矛盾。
• 将该技术推广至证明：在假设 ETH 成立的前提下，对于多种图类（如弦图、区间图、阈值图、分裂图、完美图等），F-收缩问题无法在 $ n^{o(n)} $ 时间内求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 n 个顶点图的 Hadwiger 数是否可以在 $ n^{o(n)} $ 时间内计算？
• RQ2 是否存在一种通用方法，可排除图中边收缩问题的 $ n^{o(n)} $ 时间算法？
• RQ3 通过边收缩寻找最大团小图的计算复杂性，与其他图嵌入问题（如子图同构、图同态、拓扑小图）相比如何？
• RQ4 指数时间假设（ETH）是否排除了团收缩及相关问题的高效算法？
• RQ5 用于 Hadwiger 数的归约技术能否扩展至 F-收缩框架中的其他图类？

主要发现

• 除非指数时间假设（ETH）不成立，否则 n 个顶点图的 Hadwiger 数无法在 $ n^{o(n)} $ 时间内计算。
• 本文通过从交叉匹配问题归约，证明在 ETH 下，团收缩问题无法在 $ n^{o(n)} $ 时间内求解。
• 用于证明 Hadwiger 数下界的技术具有广泛适用性，可排除当 $ F $ 属于若干图类（包括弦图、区间图、阈值图、分裂图和完美图）时，F-收缩问题的 $ n^{o(n)} $ 时间算法。
• 结果表明，寻找最大团小图的计算复杂性高于其他相关问题，如子图同构、图同态和拓扑小图，这些均存在 $ n^{O(n)} $ 时间算法。
• 本文证明，即使目标图是完全图，除非 ETH 不成立，否则边收缩问题也不存在 $ n^{o(n)} $ 时间算法。
• 从交叉匹配到结构化团收缩的归约表明，边收缩可模拟完美匹配，同时在收缩下保持团结构。