[论文解读] Computation of highly oscillatory Bessel transforms with algebraic singularities

Zhenhua Xu, Shuhuang Xiang|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 21被引用 12

一句话总结

该论文提出了一种快速且精确的Clenshaw-Curtis-Filon方法，用于计算具有代数奇点的高振荡Bessel变换，利用递推关系高效计算修正矩。该方法在固定 $\omega$ 时对 $N$ 实现最优收敛速率，误差界为 $O(N^{-k-1})$ 或 $O(N^{-2\min\{\alpha,\beta\}-k-2})$，具体取决于奇点强度，并在 $N$ 上保持一致收敛。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Clenshaw-Curtis-Filon method for the highly oscillatory Bessel transform $\int_0^1x^α(1-x)^βf(x) J_ν(ωx)dx$, where $f$ is a smooth function on $[0, 1]$, and $ν\geq0.$ The method is based on Fast Fourier Transform (FFT) and fast computation of the modified moments. We give a recurrence relation for the modified moments and present an efficient method for the evaluation of modified moments by using recurrence relation. Moreover, the corresponding error bound in inverse powers of $N$ for this method for the integral is presented. Numerical examples are provided to support our analysis and show the efficiency and accuracy of the method.

研究动机与目标

• 解决在两端点均存在代数奇点的高振荡Bessel变换数值计算的挑战。
• 克服现有方法在矩计算中依赖多项式转换所导致的不稳定性，尤其是在 $N \geq 32$ 时。
• 开发一种基于递推关系的稳定且高效的算法，用于计算修正矩。
• 为应用于该积分的Clenshaw-Curtis-Filon方法建立以 $N$ 的负幂次表示的严格误差界。
• 证明该方法在固定 $\omega$ 时对 $N$ 具有一致收敛性，确保在不同振荡频率下均具有鲁棒性。

提出的方法

• 使用Clenshaw-Curtis点进行插值，以避免Runge现象并确保稳定性。
• 利用移位的切比雪夫多项式 $T_k^*(x)$ 构造光滑函数 $f(x)$ 的Lagrange插值多项式 $P_N(x)$。
• 将Clenshaw-Curtis-Filon (CCF) 积分定义为 $Q^{CCF}[f] = \sum_{k=0}^N b_k M(k,\nu,\omega)$，其中 $M(k,\nu,\omega)$ 为修正矩。
• 推导出修正矩 $M(k,\nu,\omega)$ 的四重递推关系，以实现快速且稳定的计算。
• 利用FFT在 $O(N\log N)$ 次运算内高效计算插值系数 $b_k$。
• 应用递推关系递归计算 $M(k,\nu,\omega)$，避免不稳定的多项式转换。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种稳定且高效的算法，用于计算在两端点均具有代数奇点的高振荡Bessel变换？
• RQ2 修正矩 $M(k,\nu,\omega)$ 存在何种递推结构，可实现快速且精确的计算？
• RQ3 对于固定的 $\omega$，Clenshaw-Curtis-Filon方法在节点数 $N$ 上的收敛速率如何？
• RQ4 该方法的精度如何随权函数的光滑性与奇点强度变化？
• RQ5 所提出的算法能否在固定 $\omega$ 时实现 $N$ 的最优收敛速率？该界对非光滑函数是否可达？

主要发现

• 所提方法在固定 $\omega$ 时对 $N$ 实现最优收敛，当 $\min\{\alpha,\beta\} \geq -\frac{1}{2}$ 时误差界为 $O(N^{-k-1})$，否则为 $O(N^{-2\min\{\alpha,\beta\}-k-2})$。
• 修正矩的递推关系实现了稳定且高效的计算，避免了在 $N \geq 32$ 时多项式转换带来的不稳定性。
• 数值实验验证了理论收敛速率：当 $k=1$ 和 $k=3$ 时，分别达到 $O(N^{-2})$ 和 $O(N^{-4})$，其中 $\alpha=0.2, \beta=0.4$。
• 对于如 $f(x) = |x-0.5|^k$ 这类光滑性受限的函数，预测的 $N$ 渐近阶数得以实现，验证了误差界的有效性。
• 该方法在固定 $\omega$ 时保持对 $N$ 的一致收敛性，且随着 $\omega$ 增大，误差减小，表明对高振荡具有鲁棒性。
• 该方法可推广至基于Clenshaw-Curtis点的Filon型方法，并适用于形如 $\int_a^b f(x)(x-a)^\alpha(b-x)^\beta e^{i\omega x}dx$ 的积分。