[论文解读] Computation of local and quasi-local effective diffusion tensors in elliptic homogenization

Dietmar Gallistl, Daniel Peterseim|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过在有限元空间上使用离散积分算子，重新诠释了 Målqvist 和 Peterseim 的多尺度方法，利用核函数的指数衰减特性，实现了有效扩散张量的局部化、分段常数近似。主要贡献在于提出了一种可证明准确的局部模型，该模型满足可验证的均匀化准则，同时提供了先验误差界并进行了数值验证。

ABSTRACT

This paper gives a re-interpretation of the multiscale method of Målqvist and Peterseim [Math. Comp. 2014] by means of a discrete integral operator acting on standard finite element spaces. The exponential decay of the involved integral kernel motivates the use of a diagonal approximation and, hence, a localized piecewise constant coefficient. This local model turns out to be appropriate when the localized coefficient satisfies a certain homogenization criterion, which can be verified a posteriori. An a priori error analysis of the local model is presented and illustrated in numerical experiments.

研究动机与目标

• 通过在有限元空间上使用离散积分算子，重新诠释 Målqvist 和 Peterseim 的多尺度方法。
• 利用积分核中的指数衰减特性，证明有效扩散张量的对角（局部化）近似的合理性。
• 建立一个具有分段常数系数的局部模型，使其满足可验证的均匀化准则。
• 为局部化模型提供先验误差分析，并通过数值方法进行验证。
• 实现椭圆均匀化问题中局部及准局部有效扩散张量的高效计算。

提出的方法

• 该方法采用作用于标准有限元空间上的离散积分算子，以表示多尺度解。
• 积分算子的核具有指数衰减特性，使得通过对其对角近似可实现局部化。
• 从对角近似中导出分段常数系数，构成一个局部化模型。
• 通过均匀化准则对局部化模型的有效性进行事后验证。
• 为局部化模型推导出先验误差估计，量化其相对于完整多尺度解的精度。
• 通过数值实验说明理论误差界及局部化方法的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在有限元空间中通过离散积分算子重新诠释 Målqvist 和 Peterseim 的多尺度方法？
• RQ2 积分核的指数衰减在多大程度上可证明有效扩散张量的对角（局部化）近似的合理性？
• RQ3 在椭圆均匀化问题中，何种条件可确保局部化分段常数系数模型的有效性？
• RQ4 如何为局部化模型推导出先验误差估计？
• RQ5 数值实验如何验证理论误差界及局部化方法的效率？

主要发现

• 离散积分算子的表述为有限元空间中多尺度方法提供了新的诠释。
• 核函数的指数衰减特性支持对角近似，从而实现有效扩散张量的局部化。
• 若事后验证满足均匀化准则，则所得具有分段常数系数的局部化模型是有效的。
• 建立了先验误差估计，量化了局部化模型收敛于完整多尺度解的过程。
• 数值实验验证了理论误差界，并展示了局部化方法的高效性。
• 该方法可实现局部及准局部有效扩散张量的高精度计算，且计算成本显著降低。