[论文解读] Computation of the deformation of rhombi-slit kirigami

Frédéric Marazzato|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2023

Advanced Materials and Mechanics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值方法，通过使用基于极限吸收原理的正则化技术，结合复杂的有限元法，求解一种非线性、退化且符号可变的PDE，以计算菱形缝隙剪接 kirigami（一种机械超材料）的形变。该方法能够精确模拟此前难以处理的混合型和退化情形，其结果在拉胀、非拉胀及混合型图案中均与实验数据高度一致。

ABSTRACT

Kirigami are part of the larger class of mechanical metamaterials, which exhibit exotic properties. This article focuses on rhombi-slits, which is a specific type of kirigami. A nonlinear kinematic model was previously proposed as a second order divergence-form PDE with a possibly degenerate, and sign-changing coefficient matrix. We first propose to study the existence of solutions to a regularization of this equation by using the limiting absorption principle. Then, we propose a finite element method with complex polynomials to approximate the solutions to the nonlinear equation. Finally, simulations are compared with experimental results.

研究动机与目标

• 解决建模菱形缝隙剪接 kirigami 形变的非线性、退化、符号可变的散度形式PDE所带来的挑战。
• 开发一种鲁棒的数值方法，以处理因系数矩阵符号变化而发生椭圆型与双曲型之间转换的PDE。
• 将现有模型从此前仅能求解的两种特殊情况（α = -β 和 β = 0）扩展至一般几何参数。
• 通过实验数据验证数值模型，尤其针对先前模拟无法捕捉关键形变特征的图案。

提出的方法

• 通过引入复耗散对原始PDE进行正则化，使极限吸收原理得以应用，从而证明解的存在性与唯一性。
• 基于 $\mathbb{P}^1$ 拉格朗日元构建复值有限元方法，用于在复Sobolev空间 $V = H^1(\Omega; \mathbb{C})$ 中逼近解。
• 在 $\partial\Omega_D$ 上强加狄利克雷条件，在 $\partial\Omega_N$ 上弱加诺伊曼条件，复解的实部代表物理上的缝隙张开量 $\xi$。
• 采用牛顿迭代法求解非线性系统，收敛性通过相对残差容差 $10^{-6}$ 至 $10^{-8}$ 监控。
• 调节正则化参数 $\varepsilon$ 以平衡数值稳定性与精度，$\varepsilon = 0$ 用于严格椭圆情形，$\varepsilon > 0$ 用于退化或双曲情形。
• 采用三角形网格，$h \approx 5 \times 10^{-3}$ 至 $5 \times 10^{-3}$，在4至7次牛顿迭代内实现收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种数值方法，以求解任意几何参数下建模菱形缝隙剪接 kirigami 形变的非线性、退化、符号可变PDE？
• RQ2 对于在曲线上退化的系数矩阵且符号发生变化的PDE，如何建立解的存在性？
• RQ3 所提出的基于复多项式与正则化的有限元方法，在先前模型失效的情况下，能在多大程度上重现实验形变模式，尤其是混合型情形？
• RQ4 通过极限吸收原理引入复耗散，如何提升混合型PDE区域中解的稳定性和精度？

主要发现

• 所提方法在所有测试情形下成功计算了菱形缝隙剪接 kirigami PDE 的解，包括此前难以处理的混合型与退化构型。
• 对于拉胀 kirigami 图案（$\alpha = -0.5$, $\beta = 0.5$），数值结果与先前模拟及实验数据高度吻合，仅存在因弹性效应导致的微小偏差。
• 在非拉胀情形（$\alpha = -0.9$, $\beta = 0$）中，该方法成功捕捉到形变剖面中的中心凹陷，此特征在早期模拟中缺失，但在实验中真实存在。
• 对于混合型图案（$\alpha = -1.6$, $\beta = 0.4$），该方法生成的解在整体形变形态与边缘梯度方面与实验结果具有良好的定性一致性。
• 该方法在4至7次牛顿迭代内稳健收敛，相对残差低于 $10^{-6}$，表明在各种参数区域中均具有良好的数值稳定性。
• 代码已公开，支持可复现性，并可扩展至其他 kirigami 图案与边界条件。