[论文解读] Computation of the w-primality and asymptotic w-primality with applications to numerical semigroups

J. I. García-García, M. A. Moreno-Frías+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种算法，用于计算有限生成原子幺半群中元素的 ω-素性，特别关注数值半群。推导出拟阿基米德幺半群中渐近 ω-素性的闭式公式，证明对于由 $ s_1 < \cdots < s_p $ 最小生成的数值半群，任一元素 $ s $ 的渐近 ω-素性为 $ \overline{\omega}(s) = s/s_1 $。

ABSTRACT

We give an algorithm to compute the $ω$-primality of finitely generated atomic monoids. Asymptotic $\w$-primality is also studied and a formula to obtain it in finitely generated quasi-Archimedean monoids is proven. The formulation is applied to numerical semigroups, obtaining an expression of this invariant in terms of its system of generators.

研究动机与目标

• 开发一种基于其有限表示的算法，用于计算有限生成原子幺半群中元素的 ω-素性。
• 研究有限生成拟阿基米德消去幺半群中的渐近 ω-素性，该类幺半群包括数值半群。
• 基于其最小生成集，推导出数值半群中渐近 ω-素性的闭式表达式。
• 将理论结果实现为名为 OmegaPrimality 的 Mathematica 软件包，以实现实际计算。
• 建立 ω-不变量与幺半群生成元结构之间的精确关系，特别是在数值半群的背景下。

提出的方法

• 使用有限生成交换幺半群的表示形式 $ \mathbb{N}^p / \sigma $，其中 $ \sigma $ 是一个同余关系。
• 应用最小生成集和等价类 $[\gamma]_\sigma$ 的概念，以表示幺半群中的元素。
• 采用 $ \mathrm{E}(a+S) $ 的概念，即在除数理想中非极小的元素集合，通过极小元素长度的界来计算 $ \omega(a) $。
• 通过在 $ \mathbb{Q}^p_{\geq} $ 中的有理点上进行优化，利用极限 $ \lim_{n \to \infty} \omega(na)/n $ 推导出 $ \overline{\omega}(a) $ 的下界，并证明等式成立。
• 利用拟阿基米德幺半群的结构，证明 $ \overline{\omega}(a) = k_1(\gamma_1/k_1 + \cdots + \gamma_p/k_p) $，其中 $ k_i $ 由生成元的最小公倍数导出。
• 通过设定 $ k_i = \mathrm{lcm}(s_1,\dots,s_p)/s_i $，将结果应用于数值半群，最终导出公式 $ \overline{\omega}(s) = s/s_1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从其表示出发，算法化地计算有限生成原子幺半群中元素的 ω-素性？
• RQ2 在拟阿基米德消去幺半群中，渐近 ω-素性是什么？能否以闭式表达？
• RQ3 在数值半群中，元素的渐近 ω-素性是什么？它与最小生成集有何关系？
• RQ4 理论结果能否有效实现在计算工具中，以在因子理论中实现实际应用？
• RQ5 在数值半群中，ω-不变量与幺半群生成元结构之间的精确关系是什么？

主要发现

• 开发了一种算法，可从其有限表示中计算任意元素 $ a $ 在有限生成原子幺半群中的 $ \omega(a) $。
• 对于拟阿基米德消去幺半群，渐近 ω-素性由 $ \overline{\omega}(a) = k_1(\gamma_1/k_1 + \cdots + \gamma_p/k_p) $ 给出，其中 $ \gamma $ 表示 $ a $ 的坐标向量，$ k_i $ 由幺半群的结构导出。
• 在由 $ \langle s_1 < \cdots < s_p \rangle $ 最小生成的数值半群中，任一元素 $ s $ 的渐近 ω-素性为 $ \overline{\omega}(s) = s/s_1 $，这是一个简洁且显式的公式。
• 通过将 $ s $ 表示为生成元的线性组合，并利用生成元的最小公倍数定义缩放因子 $ k_i $，推导出公式 $ \overline{\omega}(s) = s/s_1 $。
• 理论结果通过在 Mathematica 中实现 OmegaPrimality 软件得到补充，可从表示或生成元计算 $ \omega $-不变量。
• 本文证明了极限 $ \lim_{n \to \infty} \omega(na)/n $ 存在且等于推导出的表达式，从而确认了 ω-不变量的渐近行为。