[论文解读] Computation of topological invariants of disordered materials using the kernel polynomial method

Dániel Varjas, Michel Fruchart+2 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2019

Topological and Geometric Data Analysis被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于核多项式方法（KPM）的算法，用于计算无序量子材料中的拓扑不变量，使具有超过10⁷个自由度的系统研究成为可能。该方法成功分析了Pb₁₋ₓSnₓTe，以更高精度细化了拓扑相变的临界浓度。

ABSTRACT

We present an algorithm to determine topological invariants of inhomogeneous systems, such as alloys, disordered crystals, or amorphous systems. Based on the kernel polynomial method, our algorithm allows us to study samples with more than $10^7$ degrees of freedom. Our method enables the study of large complex compounds, where disorder is inherent to the system. We use it to analyse Pb$_{1-x}$Sn$_{x}$Te and tighten the critical concentration for the phase transition.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展的计算方法，用于确定如合金和非晶材料等非均匀和无序量子系统的拓扑不变量。
• 克服传统方法在处理具有超过10⁷个自由度的大规模系统时的局限性。
• 实现对无序化合物（如Pb₁₋ₓSnₓTe）中拓扑相变的精确分析。
• 通过大规模模拟，收紧Pb₁₋ₓSnₓTe中拓扑相变临界浓度的估计值。

提出的方法

• 采用核多项式方法（KPM）近似无序系统中的态密度和格林函数的迹。
• 利用切比雪夫多项式展开，高效计算谱矩，从而实现对拓扑不变量的精确估计。
• 通过随机迹估计和多项式滤波，避免对大型哈密顿矩阵进行对角化。
• 通过每步计算成本低的迭代KPM实现系统尺寸的可扩展性，适用于具有10⁷个自由度的系统。
• 通过KPM近似导出的谱投影，利用陈数或Z₂不变量计算拓扑不变量。
• 该算法在模型哈密顿量上进行了验证，并应用于Pb₁₋ₓSnₓTe以研究拓扑相变。

实验结果

研究问题

• RQ1 核多项式方法能否在具有超过10⁷个自由度的大规模无序系统中准确计算拓扑不变量？
• RQ2 通过大规模模拟，Pb₁₋ₓSnₓTe中拓扑相变的临界浓度x_c是多少？
• RQ3 与传统方法相比，基于KPM的方法在无序拓扑材料中的可扩展性和准确性如何？
• RQ4 在KPM框架中，能在多大程度上捕捉由无序引起的局域化效应，同时保持拓扑不变量的稳定性？

主要发现

• 该算法成功计算了具有超过10⁷个自由度的系统的拓扑不变量，展现出高度可扩展性。
• 该方法实现了对Pb₁₋ₓSnₓTe中拓扑相变临界浓度的精确确定。
• 与先前估计相比，临界浓度得到收紧，表明对相变点的预测精度显著提高。
• 基于KPM的方法即使在强无序条件下仍保持数值稳定性和准确性。
• 通过KPM计算的谱矩为拓扑不变量计算提供了可靠输入，无需进行完整对角化。
• 结果证实，利用可扩展、高效且精确的计算框架研究复杂无序拓扑材料是可行的。